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2017-09-28 发布于湖北
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高等数学1.4无穷大与无穷小的关系

第一章函数与极限第四节无穷大与无穷小的关系 • 一、无穷小 • 二、无穷大 • 三、无穷大与无穷小的关系 §4. 无穷小与无穷大. 一、无穷小定义: 极限为零的函数称为无穷小. 如lim f (x ) 0 lim f (x ) 0. x x x  0 ( 0)X  ( x ) X  定义1:  0,  0, 当 0  x x0  时，有 f (x )  则称 f (x ) 是 x  x 0 时的无穷小, 记为 ( )x  (lim ( ) 0). f x lim ( ) 0. f x x x  0 x  极限为零的函数称为无穷小. lim ( ) 0. f x 例如,lim f (x ) 0; x x x  0 1 1 lim 0, 函数是当 x  时的无穷小 x  x x n n (1) (1) lim 0, 数列 { }是当n 时的无穷小 n n n 注意（1）无穷小是函数,不能与很小的数混淆; （2 ）零是可以作为无穷小的唯一的数. 极限为零的函数称为无穷小. 2、无穷小与函数极限的关系: lim f( x) A  f (x ) A (x ), 定理1 x x  0 ()x x x  时的无穷小. 其中是当 0 证: 必要性设 lim f (x ) A ,  0,  0, x x 0 当 0  x x0  时，有 f (x ) A . 令 f (x ) A (x ),  (x )  有 lim (x ) 0, f (x ) A (x ). x x 0 其中()x x x  . 是当 0 时的无穷小极限为零的函数称为无穷小. lim f( x) A ( )