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包络定理EnvelopeTheorem
讲义 3-数学工具
David A utor
14.03 2004 秋季
日程
●最大化问题
–单变量
–多变量
●隐函数和比较静态
●包络定理：限制和非限制
●限制条件下最大化问题（拉格朗日方法）
●对偶问题
1 单变量最大化问题
假 是某个利润函数，我们选择最佳的 使 最大化
一阶条件（FO C ）：
问： 是最大化的必要条件吗？
答：是的，一阶条件是必要的，但不是利润最大化的充分条件。因为这个满足一阶条件的点
可能是一个最小值。
但是 是利润最小点。
我们还必须考虑它的二阶条件：
这就可以保证 是一个局部最大值。
当方程很不规则时，这个方法就不是很适用。
例如：
我们通常遇到的比较规则的方程是连续的，可导的和凹的。因此我们就没必要太关注二阶导
数。
2 多变量最大化问题
给定一个函数：
同时给定所有的偏导：
最大化的一阶条件为：
例如：
两个变量的函数的最大化问题。
任何凹函数的最大值都在那个“水平点”。
义 1所有点都位于任何一个切面以下的函数就是凹函数。
例如，一个单变量的函数总位于它的切线下面那么它就是凹的。
两个变量的函数取最大值的二阶条件如下：
3 凹函数
这组函数满足凹函数的条件，
而下面这组函数就不满足凹函数的条件。
4 隐函数
函数既可以写成隐函数形式也可以写成显函数形式。
例如：
1. y=mx+b 显式
2. y-mx-b=0 隐式
3. f(y,x;m,b)=0 隐式
2 3 Y =f(x)
函数 和 是隐性的因为变量之间的关系是隐含的而不是像函数 有这样显明的形式。
在经济学中我们常常用隐函数外生变量和内生变量都是混合在一起。
我们可能没有 这样的表现形式，但是导数 可能仍然存在，而且这常常就是我们所
需要的。
处理隐函数是很简单的。
注意： 可能不存在。
4.1 例子
我们能够把函数写成方程形式：
如下：
我们能够对它进行微分并求出导数：
这个导数当y=0 时，没有意义。
问：在 点处导数 不存在，意味着什么？
答：这时 既可以是正的也可以是负的。不确定。
我们能够看到这种情况是怎样出现的。
假定有一个方程 有一个连续的解 。
我们想要知道某个点 的 。
运用链式求导法。
导数 存在的必要条件是 （隐函数定理）
这也说明这个条件是充分的。
在多变量情况下这个条件可以写成 。
4. ２ 例子
给定如下函数：
求出 。
1. 一种方法是先求出函数的显式表示法。
2. 另一种是运用隐函数法：
● 改写为：
● 全微分：
● 化简：
4. ３ 例子
再来考虑一个更复杂的例子：
求 。
在这种情况，只有运用隐函数定理才能求导。
1. 求全微分：
2. 代入数值：
3. 时 等于多少？
近似的求解如下：
y 3.01475
当 时 准确的结果为
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