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第10 章 NP 完全问题的近似算法 本章主要内容  近似算法的性能比及多项式时间近似算法的概念。  顶点覆盖问题的近似算法 （常数性能比的算法）。  集合覆盖问题的近似算法 （非常数性能比的算法）。  最大独立集问题的近似算法 （概率上的好算法）。  旅行商问题的近似算法 （近似算法与PNP ）。  子集和问题的近似算法（完全多项式时间近似方案）。 1 到目前为止，所有NP 完全间题都没有找到多项式时间算 法。然而有许多NP 完全问题具有很重要的实际意义，经常会 遇到。对于这类间题，通常有以下几种办法： ① 只对特殊的实例求解。遇到一个NP 完全问题时，应仔 细考察是否必须在最一般的意义下求解。也许只要针对某种特 殊情形求解就够了。NP 完全问题的特殊情形常常有高效的算 法。例如：2-SAT、2-可着色、顶点度数不超过3 的图的团问 题。 ② 用动态规划法，回溯法或分支限界法求解。虽然不能构 造有效算法，但是，在许多情况下，它们比穷举有哪些信誉好的足球投注网站方法要有 效得多。 ③ 用概率算法求解，有时可通过概率分析法来证明某个 NP 完全问题的“难” 实例非常少，因此可用概率算法来解这类 NP 完全问题，设计出在平均情况下的高效算法。 2 ④ 只求近似解。实际中遇到的NP 完全问题不一定需要精 确解，可能只要获得在一定的误差范围内的近似解就够了，许 多NP 完全问题的近似求解算法可以在很少的时间内得到一个 精度很高的近似解。因此在实践中人们常常只是求NP 完全问 题的近似解。 ⑤ 用启发式方法求解。在用别的方法都不能凑效时，也可 采用启发式算法来解NP 完全问题。这类方法根据具体问题的 启发式有哪些信誉好的足球投注网站策略来寻求问题的解。在实际使用时可能很有效， 但很难说清楚它的道理。 本章只讨论解决NP 完全问题的近似算法。 3 1 近似算法的性能 在实际应用中遇到的NP 完全问题多表现为最优化问题， 即表现为要求使某一个目标函数达到最大值或最小值的解。 对一个规模为n的NP 完全的最优化问题，它的近似算法 显然应该满足两条基本要求： ① 算法在关于n的多项式时间内完成。 ② 算法得到的近似解达到一定的精度。 近似解的精度可以用性能比来度量。 4 若一个最优化问题的最优值为c* ，求解该问题的一个近似 算法求得的近似最优解相应的目标函数值为c，则将该近似算 法的性能比定义为max{cc/ *, c*/c} 。在通常情况下，该性 能比是问题输入规模n的一个函数(n) （通常直接将(n)称为 性能比），即 max{cc/ *, c*/c}(n) 该近似算法的绝对误差定义为|cc*| ，相对误差定义为 |(cc*)/c*| 。若对问题的输入规模n ，有一函数(n)使得 |(cc*)/c*|(n) ，则称(n)为该近似算法的相对误差界。近似 算法的性能比(n) 与相对误差界(n)之间显然有如下关系： (n)(n)1 。 5 一般说来，若要使近似解达到较高的精度，则近似算法需 要有较大的计算量。 一个最优化问题的近似方案是指具有相对误差界 (0) 的一类近似算法A() 。