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弹性力学基本方程 成都大学 张永强 基本内容 1.弹性力学基本假定 2.平衡方程 3.几何方程 4.本构方程 5.边界条件 为突出所处理问题的实质，使问题得以简单化和抽象化， 在弹性力学中，提出以下五个基本假定 （理想化） (1)物体内的物质连续性 (continuity)假定，即认为物 质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。 (2)物体内的物质均匀性 (homogeneity)假定，即认为物 体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料 的描述是相同的。 （偏析） (3)物体内的物质 (力学)特性各向同性 (isotropy)假定， 即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特 性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。 (4)线弹性(1inear elasticity)假定，即物体变形与 外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原 状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。 (5)小变形(small deformation)假定，即物体变形远 小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高 阶小量(二阶以上)。 以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但 从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多 数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的 最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理， 以抓住问题的实质。 1 平衡方程 弹性体中任意一点达到应力平衡时： Lσp0 L微分算子 σ应力 p体积积 适合二维或者三维问题 对平衡微分方程的说明 ⑴ 代表A中所有点的平衡条件， 因位（ ，）∈A； ⑵ 适用的条件--连续性，小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。 ⑸比较: 理论力学考虑整体 的平衡（只决定整 体的运动状态）。 材料力学考虑有限体 的平衡（近似）。 弹性力学考虑微分体 的平衡（精确）。 从何而来？ 对于三维问题，弹性力学基本方程为如下形式。 1. 平衡方程 由x，y，z三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导 平衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别dx，dy， dz而有所不同，以Taylor级数展开后，可写为 单位面积，x方向力合成，正应力，切应力 2 几何方程 表征质点位移与应变之间的关系  Lu --应变 u--质点位移矢量 二维或者三维 从图0.1.3可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主 要在两个方面：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面 给出具体的描述。 (3)定义夹角的变化 PA ’线与PA线的夹 角为 在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则 应变向量和位移向量间的几何关系有 3 本构方程 材料应力应变的关系  D 应变 D弹性矩阵 本构方程(constitutive equation)，反映物质宏观性质 的数学模型 4 边界条件(求解的前提)   F u  面力和集中力边界 F  --位移边界 u 弹性体V 的全部边界为S， 一部分边界上已知外力p p p 称为力 x y z 的边界条件，这部分边界用S σ表示；另一部分边界上弹性体的 位移w,v,u 已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边 界用S 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即 u 求解的前提