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矩阵的分析lecture7特征值与广义逆
第七讲 特征值的估计与广义逆矩阵
一、特征值界的估计
设A (aij )n×n 为一给定的复数矩阵，则A 可以表示成一个厄米特矩阵与一个反
厄米特矩阵的和，即
A B =+C
A +AH aij +aj i
B (b ) (b )
ij n×n 2 ij 2
H
A −A aij −aj i
C (c ) (c )
ij n×n 2 ij 2
设A,B,C 的特征值的集合为:
{λ ,λ ,,λ },{μ ,μ ,,μ },{iν ,iν ,,iν }
1 2 n 1 2 n 1 2 n
这里每个μ ,ν 均为实数.并假设:
j j
| λ |≥|λ |≥≥|λ |,μ ≥μ ≥≥μ ,ν ≥ν ≥≥ν
1 2 n 1 2 n 1 2 n
1 定理：若n 阶矩阵A (a ) 的特征值的集合为{λ ,λ ,,λ } ，则有不等式
ij n×n 1 2 n
n n n
2 2
| λ | ≤ | a |
∑ ∑∑
i i
j
i 1 i 1 j 1
等号成立当且仅当A 为正规矩阵时成立。
证明：由Schur 定理，存在酉矩阵U 及上三角矩阵T，使得
UH AU T
因此，
H H H
U A U T
从而，
H H H
U AA U TT
H H H H
tr(AA ) tr(U AA U ) tr(TT ) （1）
由于矩阵T 的对角线上的元素全为A 之特征值，所以，
n n n n
2 2 2
| λ | | t | =≤ | t | （2 ）
∑ ∑
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