拉普拉斯变换的分析.pdfVIP

第 4 章 拉普拉斯变换分析 本章所要讨论的拉普拉斯变换（Laplace transform ）分析方法，是第3 章傅里叶变换分析的 进一步推广。傅里叶变换是将时间信号f (t) 分解为无穷多项指数信号ej ωt 之和；拉普拉斯变换 则是将f (t) 分解为无穷多项复指数信号est 之和，其中s σ+j ω，称为复频率。因此拉普拉斯 变换分析也称为复频域分析，或 s 域分析。 19 世纪末，英国工程师海维赛德(O. Heaviside) 以其出色的工作成为拉普拉斯变换的先驱。 后来人们在法国数学家拉普拉斯(B ．S．Iaplace) 的著作中找到了依据。为此取名为拉普拉斯变 换(简称拉氏变换) 。 拉氏变换分析法是分析连续线性时不变系统的有效工具。它具有如下突出优点，它可把微 分方程变换成代数方程（algebraic equation ），并且可以自动引入起始状态，求出系统的全响应。 其次是实际遇到的信号都存在拉氏变换。拉氏变换还可把时域中两函数的卷积运算转换成变换 域中两函数的乘法运算。 本章着重研究拉氏变换的定义和基本性质；并以此为基础通过较多的实例讨论用拉氏变换 分析线性系统的方法，包括直接将微分积分方程的变换，以及 s 域元件模型这两种方法。 4.1 拉普拉斯交换的定义 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 由前章已知，当函数f (t) 满足狄义赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式 ∞ F (jω) ∫−∞ f (t )e−j ωt dt 1 ∞ f t F ω j ωt ω ( ) 2π ∫−∞ (j )e d 但在实际工程中会遇到许多信号不满足绝对可积的条件，例如增长指数信号 eαt u(t) （α0 ）、斜变信号tu(t) 等不存在傅里叶变换。而对于阶跃信号u(t) 、周期信号虽未受此约束， 但在变换式中出现了广义函数——冲激函数δ(ω) ，这就增加了分析的难度。为了简化某些常 见信号的变换式和使更多信号存在变换，我们可将傅里叶变换推广为拉普拉斯变换。 信号f (t) 之所以不满足绝对可积的条件，是由于当t →∞时，f (t) 不趋于零。如果引入一 个衰减因子e−σt ( σ 为实数)使它与f (t) 相乘，只要σ 的数值选择得适当，就可使e−σt f (t) 得以 收敛，绝对可积条件就得到满足。这样，e−σt f (t) 的傅里叶变换为 ∞ F [e−σt f (t )] ∫−∞[f (t )e−σt ]e−j ωt dt ∞ (σ jω) t ∫−∞f (t)e− + dt （4-1 ） 它是σ+j ω的函数，可以写成 161 ∞ − + F (σ+jω) ∫−∞f (t )e (σ jω) t dt （4-2 ） ( j ) F σ+ ω 傅氏逆变换为 e−σt f (t) F−1[F (σ+ jω)] 1 ∞