一元二次方程的根的判别式及根与系数关系 首师大版.docVIP

精品文档，欢迎阅读、下载 一元二次方程的根的判别式及根与系数关系 一. 本周教学内容： 一元二次方程的根的判别式及根与系数关系 符号决定了方程的实根的存在性。 判别式可用于判断一元二次方程的根的情况，还可以利用它进行有关的计算、推理和证明。 它揭示了一元二次方程的根与系数之间的内在联系，在讨论一元二次方程的根的情况，解决计算和证明有关两数和、两数积的有关问题时，常常要用到它。在高中代数、三角、解析几何中，它也有广泛的应用。 二. 重点、难点： 重点：重点是熟练掌握一元二次方程根的判别式，会用判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数关系也是重点。 难点：讨论一元二次方程根的情况，解决计算和证明两数和、两数积的有关问题是难点。 【典型例题】 一元二次方程的根的判别式 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。 根的判别式有以下应用，应掌握之。 不解方程，判定其根的情况； 根据方程根的情况，进行有关的证明； 根据方程根的情况，确定未知（待定）系数的取值范围。 利用根的判别式还可以探索二次三项式ax2＋bx＋c的最大值或最小值。 通过根的判别式的应用，培养学生逻辑论证的能力，通过习题的演变，培养学生思维的严密性和灵活性。 教学的重点和难点是：一元二次方程的根的判别式的推导和应用。 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，用符号“△”来表示。 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根。 以上定理的逆定理也成立。 例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。 解： 例2. 解： 例3. 解： 数根。 ［引申］通过一元二次方程根的判别式，还可以进行有关的证明，例如： 例4. 分析： 若求证一个一元二次方程没有实数根，先要证明△＜0。此题的△值与△ABC三边有关，利用三角形两边之和大于第三边定理可证出其结论。 证明： ∵a，b，c为三角形的三边，∴第一个因式b＋c＋a＞0 又∵三角形两边之和大于第三边，∴第二个因式b＋c＞a，∴b＋c－a＞0；∴第三个因式b＋a＞c，b＋a－c＞0；第四个因式b＜c＋a，b－（c＋a）＜0。 四个因式中一、二、三式为正，四式为负，∴乘积为负，即根的判别式＜0。 一元二次方程的根与系数的关系 掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两个根的倒数与平方和。 一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理），它的应用内容很丰富，运用韦达定理的关键是把某些代数式经过恒等变形，使它们变成含有原方程两根之和与积的形式，以适于应用韦达定理。 启发引导学生通过计算一元二次方程的两根之和与两根之积，观察发现一元二次方程根与系数的关系，并培养学生发现问题的能力和推理论证的能力。 理解并掌握韦达定理是教学重点，启发引导学生发现一元二次方程根与系数是教学难点。 存在下列关系： 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 例1. 已知-3是一元二次方程2x2＋5x＋p＝0的一个根，求另一个根和p的值。 解：设方程的另一个根为x1，根据题意，得 答：方程的另一根为 还可以将-3代入原方程求出p，再用两根之和（或两根之积）的关系求出另一根。 例2. 解： 例3. 解： 例4. 已知两个数的和是10，它们的积是22，求这两个数。 解： 根据一元二次方程根与系数的关系，这两个数是方程的两根。 解这个方程，得到它的两个根是： 这就是所求的两个数。 答：这两个数是 根与系数的关系应注意知识的横向联系，这常成为知识的联结点，以沟通知识的内在联系，通过其应用可发展思维能力。 ［引申］书上例题：求2x2＋3x－1＝0两根的平方和，倒数和。 例5. （1）平方的倒数