线性代数（孙兰芬,陈一巾）.PDFVIP

本资料不得转载 COMP120004@Fudan 线性代数 （孙兰芬，陈一巾） 第四章习题参考答案 COMP120004，2015 年11 月， fudan.edu.cn 请不要转载本资料！ 习题四 线性空间 （向量空间）的概念： 两个集合：向量集、数域 1，闭合性 （向量对加法和数乘的闭合性） 2，加法的公理 a) 加法交换律 b) 加法结合律 c) 存在零元 （零向量） d) 对于任意向量存在其负向量 3，标量乘法的公理 a) 标量乘法的两种分配律 b) 标量乘法的结合律 c) 标量乘法单位律（与数集的单位元相乘等于本身） 1、检验以下集合对于所指定的运算是否构成实数域上的线性空间： (1) n 阶 实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和实数与矩阵的乘法。 答：构成线性空间。满足闭合性，加法的公理以及标量乘法的公理。 (2) 次数等于n(n 1) 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法及与实数的乘法。 0 x V   答：不构成线性空间。因为不存在零元，即 V 。或不满足闭合性。 ， x V ， 然而x (x) 0V 。 (3) 三阶正交矩阵的全体，对于矩阵的加法和实数与矩阵的乘法。 0 答：不构成线性空间。因为不存在零元。 不属于正交矩阵。 33 1 本资料不得转载 COMP120004@Fudan n n 2、在 中，分量满足下列条件的全体向量所成的集合，能否构成 的线性子空间： R (1) x x  x 0 1 2 n 答：是子空间。 (2) x  x  x 1 1 2 n 答：不能构成线性空间。不存在零元。且对数乘不封闭。存在 ，满足x  x  x 1 ， x 1 2 n 那么y  2x 的分量满足： y1 y 2 yn 2 ，因此y V ，不满足数乘的封闭性。 V 3、在线性空间 中，设向量 可被向量组, , , 线性表示，但不能被向量组  1 2     , ,, 线性表示，证明向量组  与向量组  等价。 1 2  1 1, 2 , , , ,