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第5讲 结构单元 金朝海 jch666@ 第5讲 结构单元 5.1 结构力学问题 5.2 杆件单元 轴力杆单元 弯曲梁单元 一般杆件单元 5.3 板壳单元 板单元 壳单元 5.1 结构力学问题 杆件和板壳结构在工程中广泛应用。 特点： 杆件——两个方向的尺度比其它方向小得多 板壳——一个方向的尺度比其它方向小得多 杆件和板壳结构在分析时可以根据其特性进行一定的简化。当然，简化后仍然包括三大类基本方程和两类边界条件，只是表达形式一般与通用表达式有所不同。以平面细长梁的弹性纯弯曲为例进行说明。 平面细长梁的弹性纯弯曲 三大类基本变量 位移： 轴线的挠度 轴向应力： 轴向应变： 平衡方程 几何方程 物理方程 结构力学问题的有限元分析 原则上，可以使用2D、3D实体单元分析杆件和板壳结构问题，但存在一定的困难。 为了获得一定的计算精度，单元划分时必须保持单元在各个方向上尺度相近，这样导致单元总数过分庞大，计算效率过低。 关于杆件和板壳结构，如前所述，通常是根据结构的特点在应变和应力方面引入一定的假定，对问题进行简化，从而构造适合杆件和板壳结构分析的单元。 结构单元是杆件单元和板壳单元的总称。 5.2 杆件单元 轴力杆单元 弯曲梁单元 一般杆件单元 轴力杆单元（2节点） 弯曲梁单元（2节点） 基于Kirchhoff假设的经典梁单元 （不考虑剪切变形的细长梁单元） 考虑剪切变形的梁单元 经典梁理论基础上引入剪切变形 ——截面转动和挠度仍然相关（C1） Timoshenko梁单元 ——挠度和截面转动独立插值（C0） 两种梁弯曲理论的比较 单元应变能 单元刚阵 挠度和转角独立插值的Timoshenko梁单元 关于剪切锁死 一般杆件单元 应用举例：平面杆件系统 平面梁单元的坐标变换 变换矩阵T 5.3 板壳单元 板单元 两类板弯曲理论 基于Kirchhoff理论的板单元 基于Mindlin理论的板单元 壳单元 壳弯曲理论 平板壳元 曲面壳元 板弯曲理论 Kirchhoff薄板理论（不考虑剪切变形） 几何方程 物理方程 两类板单元的比较 Kirchhoff板单元——只适合薄板问题的分析 Mindlin板单元——不仅适合中厚板的分析，经过适当的处理也可以对薄板问题进行分析。 壳弯曲理论 和板弯曲理论基本一致： Kirchhoff壳理论——薄壳 Mindlin壳理论——中厚壳 不同点： 板弯曲——不考虑中面的面内变形 壳弯曲——考虑中面的面内变形 平板壳元 关于平板壳元 平板壳元是平面应力单元和平板弯曲单元的组合。平板弯曲单元稍加扩充就可以应用于壳体分析。 然而用折板代替壳体，网格需要合理的密度才能得到满足实际要求的计算精度。 采用曲面壳元能够更好地反映壳体的真实几何形状，通常可以得到比平板壳元更好的结果。 曲面壳元 基于薄壳理论的曲面壳元需要构造具有C1连续性同时满足完备性要求的插值函数是非常困难的。 基于Mindlin壳理论，构造位移和转动独立插值的曲面壳元，只要求满足C0连续性，自然要容易的多，而且这类壳单元经过适当的处理也可以进行薄壳分析（注意剪切锁死）。 下面介绍一类从三维实体单元退化而来的超参数壳元（最简单的4节点单元） 。 退化的Mindlin超参壳元 坐标插值函数的构造 单元内任意点位移 关于超参壳元 几何变换采用的节点自由度数（24）大于位移变换所采用的节点自由度数（20）。 经典梁和板壳理论中应用了中面的法线在变形后仍和中面垂直的直法线假设(即Kirchhoff假设)，因此基于该理论建立的梁单元和板壳单元，在单元交界面上提出了变形前的法线在变形后保持连续的要求。由于法线的转动是由挠度的导数表示的，因此实际上是要求挠度的一阶导数保持连续（梁和板壳的能量泛函中包含挠度的二阶导数），即梁、板壳单元在单元交界面上应满足C1连续性。满足C1连续性对单元的构造是一个挑战。 在考虑横向剪切变形的情况下，也能够构造一种C0型单元。这种单元将法线转动作为独立自由度处理，并不依赖于位移的一阶导数，因此只要满足单元交界面上位移函数的连续性要求，并且不要求其一阶导数的连续性，就可以得到协调单元。 考虑横向剪切变形的、转角和挠度独立插值的C0型单元，经过适当的处理也可以用于细长梁和薄板壳的分析。 轴力杆单元+弯曲梁单元 弯曲单元采用经典梁单元的情况 2 1 1 1 2 2 思路：单元特性分析基于局部坐标系；组装时基于  整体坐标系（经坐标变换） 局部坐标系下节点位移列阵 整体坐标系下节点位移列阵 注：转角在两个坐标系下相同 同样： T——正交矩阵 局部 整体 局部到整体的变换公式 单位长度上的弯矩、扭矩、剪力满足： y z w x z w