数值方法非线性方程的近似解法.pptVIP

3、 单点弦截法 ： 牛顿法一步要计算 f 和 f ，相当于2个函数值。现用 f 的值近似 f : x0 x1 切线 割线 切线斜率　?　割线斜率 x2 4、 双点弦截法 ： 切线斜率　?　割线斜率 需要2个初值 x0 和 x1。 x0 x1 x2 1930年l?2月在《科学》第15卷第2期上发表了《苏家驹之代数的五次方程解法不能成立之理由》，文中指出，苏家驹的解法中把一个13阶行列式算错了。 时间表控制流程图 km 是 输出 k=k+1 是 否 输入 k = 0 算法(迭代法) 定义 已到最大迭代次数 否 结束 开始 二、迭代法的收敛阶 若0C1,p=1称为线性收敛；p1称为超线性收敛；p＝2称为平方收敛（二次收敛）。 p 越大，收敛速度越快；反之，p越小，收敛速度就越慢。因此，迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。 （ C称为渐近误差常数） 定义：设 收敛于 ，令迭代误差 ，如果存在实数 及非零正常数C使得 则称该迭代过程以及该迭代式是p阶收敛的，也称相应的迭代法是p阶方法。 1.迭代-加速公式 记 ，则由微分中值定理有 三、迭代法的加速 其中?在xk与x*之间。 假定 在根x*附近变化不大，可设 ，由 迭代收敛条件有 ，故上式可写为： 整理为： 得到迭代加速公式 上式说明，把 作为根的近似值时，其绝对误差大致为 。如果把该误差值作为对 的一种补偿，便可以得到更好的近似值 记 Remark3：该方法的缺点是需估计 的近似值。 Remark1：该迭代法对原迭代式的各近似值在根x*的两侧往复地趋于x*时较为有效。在这种情况下，不但能加快新序列的收敛，还能有效地防止死循环的出现。 Remark2：若序列{xk}单调趋于x*时，上式不能起到加速收敛的作用。 x y y = x x* y=φ(x) x0 p0 x1 p1 ? 2．埃特金（Aitken）加速方法 记 用平均变化率 代替迭代加速公式中的 ，于是有 则 从上式可以看出，第二项是对 的一种补偿。 因此可以得下述Aitken加速方法： Remark：因为迭代过程xk+1= ?(xk)总是在根x*附近进行，因此用平均变化率代替迭代加速公式中 的是有意义的。 记 对于埃特金（Aitken）加速方法有如下的定理： 定理3：如果由迭代公式xk+1= ?(xk)产生的数列{xk} 满足： （1）收敛于根x*； （2） 则由埃特金（Aitken）加速公式产生的数列 比数列{xk}较快的收敛于根x*，即 取前两项近似代替 得近似 的线性方程 一、Newton迭代法 1.牛顿法的基本思想同Newton-Raphson公式 §2.3 Newton迭代法 设 是 的一个近似根，则 基本思想：将非线性方程转化为线性方程来求解。 由 知 是 处 的 切线 与 轴交点的横坐标， 故Newton法的几何意义是逐次用切线代替曲线， 求切线与横坐标轴的交点。 Newton法亦称为切线法。（如下图） 设 ,令解为 得 显然是 的同解方程。 上式称为 的Newton迭代法，对应的方程 x* x0 x1 x2 x y f(x) Newton迭代法逼近过程 证明：只需证满足迭代法局部收敛定理的两个条件。 2.局部收敛性 及条件（1）（2）知，?(x)在x*的邻域可导。 定理（Newton迭代法局部收敛性）：设 为 的根，如果：（1）函数f(x)在 的邻域具有连续的二阶导数；（2）在 的邻域 。 则存在 的某个邻域 ，对于任意的初始值x0?S，由Newton迭代公式产生的数列收敛于根 。 由迭代函数 得: 根据连续函数的性质，一定存在x*的某个邻域 ，对于任意的x?S，有 Remark：上述定理对于初值x0的要求比较高，只有当初值选的充分靠近时，才能保证序列收敛。 证毕 显然又有 3.非局部收敛性 定理（Newton迭代法的非局部收敛性）：设x*是方程f(x)=0在隔根区间[a,b]内的根，如