探讨一道旋转体体积的命题、解题与成题.PDFVIP

探討一道旋轉體體積的命題、解題與成題 陳昭地 國立臺灣師範大學 數學系 壹、前言 體為 V ，試求V的體積。 本 文 旨 於 仿 波 利 亞 怎 樣 解 題 的 模 式 此 時 ， 用 圓 盤 法 ﹝ 橡 皮 圈 法 ﹞ 極 易 來命題。探討對一道原先設想成簡易具創 求得 V 的體積： 意的旋轉體體積求解，誤踏陷阱，導入誤 1 1  2 2 2  2 4 解轉向正解的過程，有如波利亞解題流程  (x ) (x ) dx  (x x ) dx 0 0 一樣。以至於判斷正誤解導入簡便求解的 1 x 3 x 5  1 1 2 旋轉體利器 Pappus 定理來確定正解，進  3  5 0 3  5  15 而推廣到更一般的試題﹝成題﹞，引用這 個 實 際 經 歷 ， 確 認 西 元 300 年 就 提 出 的 y Pappus 定 理 是 解 旋 轉 體 體 積 絕 佳 必 備 的 y=x 關鍵工具，因此提出國內高三微積分無論 P (1 ,1) 是 課 綱 、 教 科 書 或 補 充 教 材 都 應 將 Pappus 定理的應用列入定積分的應用 ~ 求 R 旋轉體體積內容列入，最後再提出四道相 y=x 2 x 關的成題，充作定積分求旋轉體體積教學 O B 的參考。 又 到 年 底 學 期 快 結 束 了 ， 正 為 上 學 期師大大一物理系的微積分期末考命題傷 2 旋轉軸為 y 軸時，先將 y x 改為 腦筋的時候，有關用定積分求旋轉體體積 的問題，諸如圓盤法﹝橡皮圈法﹞、圓柱 x y 0 y 1 ，同法可得： 殼法﹝中學數學課綱不包含此法﹞，總是 1 2   2  要出幾道合理簡易的旋轉體來評量學生。  y y  dy