北航数值分析第一次大作业(高斯gausslu分解).docxVIP

一、问题分析及算法描述编写程序，分别用列主元的Gauss消去法和LU分解法求解下面线型代数方程组AX=b的解，其中A为矩阵，N=50，其中第i(行、第j()列元素，右端向量b的第i()个分量为.列主元素Gauss消去过程中，要用到两种初等行变换。第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。在第k次消元之前，先对增广矩阵作第一种行变换，使得中绝对值最大的元素交换到第k行的主对角线位置上，然后再使用第二种行变换进行消元。如此往复，最后得到一个上三角系数矩阵，并回代求解解向量。由于每次消元前选取了列主元素，因此与顺序Guass消元法相比，可提高数值计算的稳定性，且其计算量与顺序Guass消元法相同。列主元的Gauss消去法要求系数矩阵A非奇异。LU分解法，即通过一系列初等行变换将系数矩阵A分解成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，进一步通过求解两个三角矩阵得出解向量。若L为单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，则称为Doolittle分解；若L为下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称为Crout分解。若系数矩阵A的前n-1阶顺序主子式不为零，则Doolittle\Crout分解具有唯一性。若在每步行变换中选取主元，可提高数值计算稳定性。本算例中采用选主元的Doolittle分解。通过分析可知，本算例中待求解线型方程组系数矩阵为非奇异矩阵，且其前n-1阶顺序主子式不为零。方程组的解向量为。满足列主元高斯消去法以及LU分解法的基本使用条件。为了验证上述两种方法对本算例的适用性，笔者利用Microsoft Visual C++6.0编写了该算例的列主元高斯消去法以及LU分解法的程序代码，并进行了运算求解。二、计算结果及分析1.高斯求解程序运行结果：**********************************各行主元大小*********************************第1行主元大小：1.00000e+000第2行主元大小：8.33333e-002第3行主元大小：6.48148e-003第4行主元大小：1.13636e-003第5行主元大小：1.30273e-004第6行主元大小：7.84929e-006第7行主元大小：-5.19257e-007第8行主元大小：3.74111e-008第9行主元大小：-2.11897e-009第10行主元大小：1.27171e-010第11行主元大小：-7.11093e-012第12行主元大小：-2.06444e-013第13行主元大小：1.41512e-014第14行主元大小：-1.24316e-015第15行主元大小：3.50355e-016第16行主元大小：3.99615e-016第17行主元大小：3.02521e-016第18行主元大小：6.93669e-017第19行主元大小：1.11654e-016***********************************方程组的解**********************************x1：9.999996x2：10.000578x3：9.977938x4：10.360343x5：6.904310x6：25.281558x7：-33.905604x8：76.093315x9：-10.091680x10：-76.424166x11：108.556590x12：53.247546x13：-123.827690x14：116.991522x15：-164.520188x16：291.762560x17：-166.575110x18：-8.426663x19：73.980824x20：-9.3859802.LU求解程序运行结果：***********************************方程组的解**********************************x1：9.999996x2：10.000578x3：9.977938x4：10.360343x5：6.904310x6：25.281558x7：-33.905604x8：76.093315x9：-10.091680x10：-76.424166x11：108.556590x12：53.247546x13：-123.827690x14：116.991522x15：-164.520188x16：291.762560x17：-166.575110x18：-8.426663x19：73.980824x20：-9.385980两种数值计算方法结果均与实际解相比产生了较大的误差，这是由于在消元过程中产生了绝对值很小的主元值，以列主元Guass消元法为例，最小主元值为6.93669e-017，这样就造成行乘数绝对值非常大，出现较小数加不到较大数中的现象