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2011届江苏高考模拟题集锦(王小兰、罗松青收集整理，共40套） 江苏省苏州市2011届迎二模六校联考数学试题 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：（几何证明选讲）如图，AD是BAC的平分线，O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EFBC． B．选修4—2：(矩阵与变换) 已知a，bR，若矩阵M= 所对应的变换把直线l：2x－y=3变换为自身，求a，b的值． C．选修4—4：(坐标系与参数方程) 将参数方程(t为参数)化为普通方程． D．选修4—5：(不等式选讲)已知a，b是正数，求证(a＋)(2b＋)≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作． （1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E(X)； （2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E(X)的概率． 23．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点． （1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值； （2）求二面角B1－DC－C1的平面角的余弦值． B．选修4—2：矩阵与变换 解：（方法一）在直线l上取两点(，0)，(0，－3)． 因为 ＝， ＝，………………………6分 因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(－，b)，(－3a，－9)仍在直线l上． 代入直线方程得解得 ………………………10分 （方法二）设(x，y)为直线l上任意一点，则 ＝ ， …………………………3分 因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(－x＋ay，bx＋3y)仍在直线l上， 代入直线方程得：2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3， …………………………7分 化简得(－2－b)x＋(2a－3)y＝3，又直线l：2x－y＝3， 所以解得 …………………………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（方法一） 因为(t＋)2－(t－)2＝4， …………………………5分 所以()2－()2＝4． …………………………8分 化简得普通方程为－＝1． …………………………10分 （方法二） 因为，所以t＝，＝， …………………………5分 相乘得＝1． …………………………8分 化简得普通方程为－＝1． …………………………10分 22．解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7． 随机变量X的概率分布为 X 3 4 5 6 7 P ………………………3分 因此X的数学期望E(X)＝(3＋4＋6＋7)×＋5×＝5． ………………………5分 （2）记“一次操作所计分数X不大于E(X)”的事件记为C，则 P(C)＝P(“X＝3”或“X＝4”或“X＝5”)＝＋＋＝． …………………7分 设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B(4，) 则所求事件的概率为P(Y≥2)＝1－C××()3－C×()4＝. ………………10分 23．解：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系 C－xyz． 则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0， 2，2）， D（2，0，1）． 所以＝(－2，0，1)， ＝(0，－2，－2)． ……………2分 所以cos，＝ ＝＝－． 即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为．…………………………4分 （2）因为＝(0，2，0)，＝(2，0，0)，＝(0，0，2)， 所以·＝0，·＝0， 所以为平面ACC1A1的一个法向量． …………………………6分 因为＝(0，－2，－2)，＝(2，0，1)， 设平面B1DC1的一个法向量为n，n＝（x，y，z）． 由得 令x＝1，则y＝2，z＝－2，n＝（1，2，－2）．……………………………8分 所以cos n，＝＝＝． 所以二面角B1－DC－C1的余弦值为． ……………………………10分 2011届高三调研考试 21．已知⊙与⊙