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2011推理与证明、复数测试题1 一、选择题（每题5分，共55分） 1.复数的共轭复数是（ ） A． B． C．D．设f()=(n∈N)，则集合{f(n)}中元素的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1．．），且的最小值是（ ） A． B．C． D．1 5．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是（ ）A.大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D以上都不是 在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形 1 3 6 10 15 则第个三角形数为（ ）A. B. C. D. 7．设则（ ） A．都不大于 B．都不小于 C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于 8．若是不全相等的实数，求证：． 证明过程如下：，，，， 又不全相等，以上三式至少有一个“”不成立， 将以上三式相加得，． 此证法是（　　） Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法与综合法并用 Ｄ．反证法 9．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　） Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（　　） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 11．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 二、填空题（每题5分，共25分） 12.实数x、y满足（1–i）x+(1+i)y=2,则xy的值是 .，那么Z=________. 14.设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是____________. 15．= i ,则的值为 16．已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 三、解答题：70分 17. （本小题12分）用分析法证明： 已知,求证 18．（本小题14分）用反证法证明： 已知均为实数，且， 求证：中至少有一个大于 19．（本小题14分）如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题． 20. （本小题14分）数列中，，用数学归纳法证明： 21. （本小题16分）是否存在常数a、b、c，使等式 对一切正整数n都成立？证明你的结论 15 16 17 [解析]要证，只需证 即，只需证，即证 显然成立，因此成立 20(1) 当n=1时, ,不等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，即， 则， 当n=k+1时， 不等式也成立 综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立 19解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题． 证明如下： 在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有． 因为面，，所以． 又，所以． 于是． 21【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立 [解析] 把n=1,2,3代入得方程组，解得， 猜想：等式对一切都成立 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立 （2）假设n=k时等式成立，即则 所以当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），对等式都成立 【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式 1