通过部分因式展开来求Laplace反变换.DOCVIP

2.3 控制系统的复域数学模型 控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统输出响应的全部时间信息。这种方法直观、准确，但是如果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统分析和设计。 传递函数是在拉氏变换基础上的复数域中的数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的，因此传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。 2.3.1 传递函数 1．传递函数的定义 传递函数是在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 线性定常系统的微分方程一般为 (2-25) 式中：为输出；为输入量；及均为由系统结构、参数决定的常系数。 在零初始条件下对式（2-25）两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程 (2-26) 系统的传递函数为 （2-27） 传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件有两方面含义：一是指输入作用是在以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在 时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在 时的值也为零。大多数实际工程系统都满足这样的条件。零初始条件的规定不仅能简化运算，而且有利于在同等条件下比较系统性能。所以，这样规定是必要的。 例2-6 试求例2-1中的R-L-C无源网络的传递函数。 解 由例2-1式（2-3）可知R-L-C无源网络的微分方程为 在零初始条件下，对上式两端取拉氏变换并整理可得网络传递函数 实际求元部件传递函数时必须考虑负载效应，所求的传递函数应当反映元部件正常带载时工作的特性。比如，电动机空载时的特性不能反映带载运行时的特性。 2．传递函数的性质 ⑴ 传递函数是复变量的有理分式，它具有复变函数的所有性质。因为实际物理系统总是存在惯性，并且能源功率有限，所以实际系统传递函数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，即n≥m。 ⑵ 传递函数只取决于系统的结构参数，与外作用无关。 ⑶ 传递函数与微分方程有直接联系。 ⑷ 传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应，因此传递函数能反映系统运动特性。 因为单位脉冲函数的拉氏变换式为1（即： ），因此有 （2-28） 应当注意传递函数的局限性及适用范围。传递函数是从拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性变换，因此传递函数只适应于描述线性定常系统。传递函数是在零初始条件下定义的，所以它不能反映非零初始条件下系统的自由响应运动规律。 2.3.2 常用控制元件的传递函数 1．电位器 电位器可以把线位移或角位移变换成电压量。在控制系统中，单个电位器常用作信号变换装置，如图2- 6（a）所示；一对电位器可组成误差检测器，如图2-6(b)所示。 　　　　　　　　　　　　　　图２-6电位器及其特性 空载时，单个电位器的电刷角位移与输出电压的关系可以表示为 （2-29） 式中，是电刷单位角位移对应的输出电压，称为电位器传递系数，其中E是电位器电压电源，是电位器最大工作角(单位：rad)，对式（2-29）求拉氏变换，可求得电位器传递函数为 （2-30） 式（2-30）表明，电位器的传递函数是一个常数，它取决于电压电源E和电位器最大工作角度。电位器的传递函数可用图2-6（d）的方框图表示。 用一对相同的电位器组成误差角检测器时，其输出电压为 式中，是单个电位器的传递函数；是两个电位器电刷角位移之差，称为误差角。因此，以误差角作为输入量时，误差检测器的传递函数与单个电位器传递函数形式相同，即为 （2-31） 在使用电位器时应注意其负载效应。负载效应是指在元部件输出端接有负载时所产生的影响。图2-7表示电位器输出端接有负载电阻时的电路图，设电位器电阻为，