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第3章 线性系统及能控性及能观测性1
在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子(s+2.5)(因此少了一阶)。由于有相约因子,所以该系统状态不能控。 将该传递函数写为状态方程,可得到同样的结论。 状态方程为 能控性矩阵的秩 rank(Qc) = 1 ,所以可得到状态不能控的同样结论。 3.1.6 输出能控性 在实际的控制系统设计中,也许我们需要控制的是输出,而不是系统的状态。对于控制系统的输出,状态能控性既不是必要的,也不是充分的。因此,有必要再定义输出能控性。 考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统 式中, [定义4] 如果能找到一个无约束的控制向量 ,在有限的时间间隔 内,使任一给定的初始输出 转移到任一最终输出 ,那么称由式(3.13)和(3.14)所描述的系统为输出能控的。 [定理6] 系统输出能控的充要条件为:当且仅当 m×(n+1)r 维输出能控性矩阵 的秩为 m 时,由式(3.13)和(3.14)所描述的系统为输出能控的。 注意:在式(3.14)中存在 DU 项,对确定输出能控性是有帮助的。 3.2 线性连续系统的能观测性 3.2.1 能观测性的定义 (3.1)的状态方程可以表示为: 则系统输出 若定义 这样 (3.1)系统的能观测性研究等价于下列系统 几种定义: 定义5:如果系统(3.6)的状态 X(t0) 在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定,那么称系统在时刻t0 ( ) 是能观测的。 定义6:对(3.6)所示系统,如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态X0,存在一个有限时刻 ,使对所有 ,有Y(t)=0,则称此初始状态X0在时刻t0是不能观测的。 定义7:对(3.6)所示系统,如果对取定初始时刻 ,如果状态空间中存在一个或一些非零状态 X0 在时刻t0是不能观测的,则称该系统在时刻t0是不能观测的。 对于线性定常系统,考虑零输入时的状态空间表达式: 式中, 如果每一个状态X(t0)都可通过在有限时间间隔t0≤t≤t1内由输出Y(t)观测值确定,则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性,设t0=0。 能观测性的概念非常重要,这是由于在实际问题中,状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时,必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出,当且仅当系统是能观测时,才能对系统状态变量进行观测或估计。 讨论: 在下面讨论能观测性条件时,我们将只考虑由式(3.20)和(3.21)给定的零输入系统。这是因为,若采用如下状态空间表达式 由于矩阵 A、B、C 和 D 均为已知,U(t)也已知,所以上式右端的最后两项为已知,因而它们可以从被量测值Y(t)中消去。因此,为研究能观测性的充要条件,只考虑式(3.20)和(3.21)所描述的零输入系统就可以了。 3.2.2 定常系统状态能观测性的代数判据 考虑由式(3.20)和(3.21)所描述的线性定常系统。 易知,其输出向量为 将 写为 A 的有限项的形式,即 显然,如果系统是能观测的,那么在 0 ≤t ≤t1 时间间隔内,给定输出Y(t),就可由式(3.22)唯一地确定出 X(0)。可以证明,这就要求 nm×n 维能观测性矩阵 的秩为 n 代数判据:由式(3.20)和(3.21)所描述的线性定常系统,当且仅当 n×nm 维能观测性矩阵 的秩为 n,即 时,该系统才是能观测的。 [例3.5] 试判断由式 所描述的系统是否为能控和能观测的。 [解] 由于能控性矩阵 的秩为2,即,故该系统是状态能控的。 为了检验能观测性条件,我们来验算能观测性矩阵的秩。由于 的秩为2, ,故此系统是能观测的。 [PBH秩判据] 线性定常系统完全能观测的充要条件是, 的所有特征值 均成立 或等价地表为: 也即 和 是右互质的(不存在右公因子)。 (3.23) [PBH特征向量判据] 线性定常系统完全能观测的充要条件是, 没有与 的所有行相正交的非零右特征向量。也即对 的任一特征值 ,使同时满足: , (3.24) 的特征向量 结论:系统是状态能观测的 3.2.4 用传递函数矩阵表达的能观测性条件 [例3.6] 证明下列系统是不能观测的。 式中 [解] 由于能观测性矩阵 类似
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