第3章 函数及最佳逼近.pptVIP

第三章 函数的最佳逼近 第三章 函数的最佳逼近 第三章 函数的最佳逼近 §1 最佳逼近问题 一、函数的逼近方法 二、连续函数的平方范数 §2 函数的最佳平方逼近 一、公式的推导 二、误差估计 *求连续函数最佳平方逼近的步骤* 本节(§2)小结 §3 离散数据拟合的最小二乘法 一、数据拟合的最小二乘法的思想 二、最小二乘法拟合曲线的步骤 三、数值例子 本节(§3)问题 第三章 最佳逼近小结 一、最佳逼近问题 连续函数空间: X=C[a,b] 子 函 数 空 间: Φ∈ X 两种度量标准: || f ||2 及 || f ||∞ 二、连续函数的最佳平方逼近 三、数据拟合的最小二乘法 练 习 三 解: 该问题的求解，可以将其化为线性函数进行 由 得到 令 则 则 再令 函数值转化为 1.579 1.000 0.690 0.484 0.323 0.172 yi 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 xi 0.633 1.000 1.449 2.066 3.096 5.814 yi 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 xi 这时，法方程组的系数矩阵按下式计算 由 计算出 法方程组 解得 c0 =6.0631 c1 =-0.0474 c2 =-10.0748 利用 得到 最后得到 1. 三要素 已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函数 逼近函数f(x)，则两个函数在每一个点xi都会产生一个误差： 我们希望所求的逼近函数在每一个xi 处所产生的误差δi 的绝对值|δi |达最小。但这样分别考虑太困难，所以我们应考虑整体误差 应该使 整体达最小（误差的平方和最小）。 通过这种度量标准求得拟合曲线的方法，就称作曲线拟合的最小二乘法(最小二乘逼近)。 按照以上思想求 f(x) 的拟合曲线（逼近函数）时，首先需要确定出 f(x) 所属的函数类，然后进一步求出具体函数，具体按照以下步骤进行。 第二步：根据图示判断点(xi,yi)所反映的函数类，确定曲线 所属的函数类型，例如多项式函数类、三角函数 类、指数函数类、对数函数类等。假设所确定的 函数类的基函数为 第一步：根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点 则所求的函数可以表示为： 只要确定了系数，就可以求出拟合曲线。 经验公式 第三步：对于其整体误差 所求的解应该使以上二次函数达到极小，由极值原理应有： 令： 这样由 及 求得 整理为 令 则有 这样就给出了求解 方程组： 离散内积 同样称其为法方程组。解法方程组求得 便得到最小二乘拟合曲线 为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。 得到法方程组系数矩阵第 j 行的元素为： 由 于是法方程组的系数矩阵可写为： 将右端第二个矩阵记为： 则系数矩阵可以表示为： 此外，关于法方程组的右端项（常数项）： 由 得到 最后可以将法方程组表示为： 其中 这样可以较快写出法方程组来。 如果所求得最小二乘拟合函数为n次多项式，则： 这时： 误差： 例3.4 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差 2 3 5 7 6 3 2 y 8 7 6 4 3 2 1 x 解: step1: 描点 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 * * * * * * * step2: 从图形可以看出拟合曲线为一条抛物线： step3: 根据基函数给出法方程组 由 得到 即 又 求得 法方程组为： 解得： 求得拟合二次多项式函数 误差为： 先计算出拟合函数值： 得到： 或者： p2 xi 1.7272 1 4.0001 2 5.5002 3 6.2275 4 5.3637 6 3.7726 7 1.4087 8 解：在坐标轴描点 例 3.5 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差 -5 -2 - 1 0 3 2 4 yi 3 2 1 0 -1 -2 -3 xi 从离散点的图形上看不出原函数属于哪一类型，一般多采用多项式拟合，在此我们用二次多项式拟合。 根据如下离散数据给出法方程组 -5 -2 - 1 0 3 2 4 yi 3 2 1 0 -1 -2 -