第十二讲根据几何图形性质求函数及解析式.docVIP

第十二讲　根据几何图形性质求函数的解析式 我们学习了一次函数，正比例函数，反比例函数，以及二次函数．它们的解析式分别可以用 y=kx+b,y=kx,y=k/x,y=ax2+bx+c 的形式来表示，其中 k ≠ 0 ， a ≠ 0, 这一类函数是明确的，求这些函数的解析式，是我们必须掌握的 求这些函数的解析式时，要根据所给的条件及函数的类型，运用“待定系数法”求解．具体解题过程是： 一、确定解析式的形式，设出解析式的表达式； 二、代入解析式中，形成关于待定系数的方程或方程组； 三、解方程或方程组，求出相应的待定系数； 四、然后回代所设的解析式中即可． 今天，我们要研究的是如何根据几何图形的性质来确定函数的解析式．几何图形的性质，对于求这类函数的解析式起着至关重要的作用． 例1 ABC 中， AB=AC ， A=x °， B=y °，请你写出 y 与 z 的函数关系式，并指出 z 的取值范围． 分析：等腰三角形 ABC 中， AB=AC ，它的顶角是 A ，底角是 B 和 C ．等腰三角形顶角、底角之间第一个关系是内角和 180 °；第二个关系，顶角的度数 =180 °-2 个底角的度数，底角度数是, 因此我们利用等腰三角形这样的性质直接写出本题结果．即 y=. x 的取值范围在 0x180 °之内． 例2 在 ABC 中， AB=5 ， AC=4 ， D 、 F 分别在 AC 、 AB 上，并且使 ADE= ∠ B ，若 DC=x ， AE=y ，求 y 与 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围． 其中 (0 ≤ x4)x=0 时， D 与 C 重合 D 点可以在 AC 上运动，所以 x 的大范围是在 0 和 4 之间，解题时可以先写出大范围，然后再审查端点值．当 x=0 的时候， D 点与 C 重合，这时候相似仍然存在，所以解的结果不变；当 x=4 的时候，相似不存在，所以 x 不能等于 4 ． 例3 边长为 a 的等边三角形 ABC 中， D 、 E 分别是 BC ， AC 上的点， ADE=60 °．设 AE=y ， DC=x ． (1) 试写出 y 与 z 的函数关系式，并求出 y 的最小值． (2) 若， BD DC=1 ∶ 2 ，求 S ADE (3) 当 DAE=45 °时，求 x ． 例4 已知：如图， ABC 中，中线 BD 、 EC 交于 F ， BC=4 ， EC=3 ， BCF=30 °， P 为 BC 上一个动点， PD 与 EC 交于 G ．如果 PC=x ， S PFG =y ，试求 y 与 x 的函数关系式． 解：连结 DE ， PH EC 于 H ． PC=x ， BCE=30 °， PH=． BD 、 EC 是中线， BC=4 ， EC=3 ， 因为 P 是 BC 上的一个动点， x 的值要能在直角三角形 PHC 中利用锐角三角函数求得．所以， x 不能等于 0 ，也不能等于 4 ，因此自变量 x 的取值范围是 Ox4 ． 例5 知：如图， BD 是半圆 O 的直径， BD=8 ， M 是 BD 的中点， A 为 DM 上一点， AC=BA ， AC 与 BD 的延长线交于 C ，作 AE BD 于 E ，设 AB=x ， CD=y ． (1) 写出 y 与 x 的函数关系式，并求 z 的取值范围： (2)x 取何值时， AC 与 O 相切； (3) 当 AC 与 O 相切时，求 tan OAE 的值． 解： (1) 连结 AO. BD 为 O 直径， BD=8 ， BO=AO=4 ∵ AB=AC ， ABO= ∠ CBA ， ABO ∽△ CBA 此时 Y 是 X 的二次函数，当 A 点如果和 M 点重合时候，得到 AB=4由于点 A 不能和 M 点重合，所以 x4 .A 不能与 M 重合，否则 AC 与 BC 不相交．当 x=8 的时， AB 变成 BD ，即 A 和 D 重合时， A 、 O 、 B 在同一条线上． AB=BD=8 ∴ y=DC=BD=8 把 x=8 代入 y=x2 -8 中，得 y=8 ，与 A 与 D 重合时 DC=8 相符合 (2) 当 AC 与 0 相切时， OA AC. 在 Rt AOC 中，由勾股定理，得 AO2 +AC2 =OC2 42+X2 =(4+y)2 即 16+x2 =( x2 -8+4)2 解出 x=4. 当 x=4时， AC 与 O 相切． (3) 当 AC 与 O 相切时， AO=4 ， AC=4． 在 Rt AOC 中， AE OC ． OAE= ∠ C ， tan ∠ OAE=． 例6 已知：如图，在梯形