矩阵特征值问题及解法.pptVIP

按模最大特征值和特征向量的乘幂法 设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到小排序为 任意取定初始向量x0 因为 在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量xk进行“规范化”。迭代格式改为 对任意给定的初始向量x0 类似地 当?10时 按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1的乘幂法的计算公式： 3 QR方法 QR方法在特征值计算问题的发展上具有里程碑意义。 在1955年的时候人们还觉得特征值的计算是十分困扰的问题，到1965年它的计算——基于QR方法的程序已经完全成熟。 直到今天QR方法仍然是特征值计算的有效方法之一。 记A＝A１且有A１＝Q 1R1.将等号右边两个矩阵因子的次序交换，得A２＝R１Q１，且 ，(3) 即A２～A１. 不难证明: 即Ak+1～Ak～…～A１，矩阵序列｛Ak｝有相同的特征值. 记 相似约化为上Hessenberg矩阵 QR算法的收敛性 定理设n阶矩阵A的n个特征值满足|λ１||λ２|…|λn|0，其相应的n个线性无关特征向量为x1，x2，…，xn. 记X＝(x1,x2,…,xn), Y= X－１.如果Y存在LU分解，那么，由迭代式产生的矩阵Ak基本收敛于上三角矩阵R.这里，基本收敛的含义指｛Ak｝的元素中除对角线以下的元素趋于零外，可以不收敛于R的元素. QR算法的迭代过程 一个QR迭代步的计算 ①对l=1，2，…，n-1，构造n-1个平面旋转矩阵Pl,l+1,使A1的次对角元全部零化，实现A1的QR分解的计算， 这里, ②用Pl,l+1右乘(24)，所得结果也放回矩阵A相应的元素中. QR算法的迭代控制 当迭代步数k充分大时，由迭代格式产生的Ak的次对角元趋于0.在 实 际计算中，控制迭代次数常用的一种办法是，预先给定一个小的正数ε，在一个迭代步的计 算结束后，对l=n-1, n-2,…，1，依次判别次对角元的绝对值是否满足  或更严格的准则是 或不太严格的准则是 如果上面三个不等式中有一个成立， 把 看做实际上为零. 带原点位移的ＱＲ算法 由ＱＲ算法收敛性可以看出，ＱＲ算法的收敛速度 依赖于矩阵相邻特征值的比 值.为了加快算法的收敛速度，在迭代过程中，对矩阵Ak确定一个原点位移量sk，称Ak-skI为带原点位移量的矩阵，再对Ak-skI应用ＱＲ算法.这时，迭代格式改为 称为带原点位移的QR算法 计算特征值问题的QR方法，实际上总是分成2个阶段： 从而A的特征值可取为 ?1?2.125825, ?2?8.388761, ?3?4.485401 为了减少有哪些信誉好的足球投注网站非对角线绝对值最大元素时间, 对经典的Jacobi方法可作进一步改进. 1.循环Jacobi方法:按(1,2),(1,3),…,(1,n),(2,3), (2,4),…,(2,n),…,(n-1,n)的顺序, 对每个(p,q)的非零元素apq作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至?(A)?为止. 2.过关Jacobi方法: 取单调下降收敛于零的正数序列??k?,先以?1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过?1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过?1时,再换下一个关卡值?2 ,直到关卡值小于给定的精度? . Jacobi方法具有方法简单紧凑,精度高,收敛较快等优点, 是计算对称矩阵全部特征值和相应特征向量的有效方法,但计算量较大,一般适用于阶数不高的矩阵. 附录： 约化矩阵的Householder方法 矩阵的约化 目的：利用相似变换，将矩阵约化为“尽可能简单” 的形式的过程，称为矩阵的约化. 特征值 特征向量 Householder 矩阵 称 为Householder矩阵. 性质：1） （Hermite矩阵） 2）正交性： 正交矩阵 作用于 上，仍有： 即不改变向量的长度. 定理 设 ，则总存在Householder 矩阵H 使： 证明：若 ，则只需取 即可. 若 ，并确定w使 据此应有： 即：w应与向量 平行. 因为 ，所以 又因为 ，所以可取 这时 即为所求的Householder矩阵. 可以设计 ，使得 变为所需要的形状.