电磁场序-矢量分析及场论.pptVIP

例2 求矢量场 通过点M(2,-1,1)的 矢量线方程. 解: 矢量线应该满足的微分方程为 由上面第一个方程得 。另一方面 将坐标M(2,-1,1) 代入，得最终方程为 矢量线的推广: 矢量面:对于场中任意一条曲线C(非矢量线),在其上的每一点处,必然有一条矢量线通过,这些矢量线的全体就构成一张通过曲线C的曲面,称为矢量面. 矢量管:如果C是一条封闭曲线时,通过C的矢量面就构成一管形曲面,称为矢量管. * 天津大学电工电子技术中心 updated date 2009.9.12 场 论 复 习 0.1 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量. 例1 在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 形象描绘场分布的工具--场线 矢量场--矢量线 标量场--等值线(面). 其方程为 其方程为 三维场 在直角坐标下: 二维场 图0.1.2 矢量线 图0.1.1 等值线 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 图0.1.3 矢量面与矢量管 例2 求矢量场 通过曲线 的矢量管方程. (自己认真思考和推导!) 0.2 标量场的梯度 一. 梯度 设 当 ,即 与 方向一致时, 为最大. 设一个标量函数?(x,y,z),若函数 ? 在点P 可微,则 ? 在点 P 沿任意方向 l 的方向导数为: 梯度(gradient) 哈密顿算子 式中 则有: 式中 ， ， ，分别是与x, y, z轴的夹角 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数； 二. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; 图0.2.1 三维高度场的梯度 图0.2.2 电位场的梯度 0.3 矢量场的通量与散度 一、通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分 ? 0 (有正源) ? 0 (有负源) ? = 0 (无源) 图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.2 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: 二、散度 如果包围点P的闭合面?S所围区域?V以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，即 散度(divergence) 计算公式 三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 ?? A= 0 (无源） ?? A= ???0 (负源) ?? A= ??0 (正源) 在矢量场中，若?? A= ??0，称之为有源场，? 称为(通量)源密度；若矢量场中处处?? A=0，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； 四、高斯公式(散度定理) 高斯公式 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。 图0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S的通量 0.4 矢量场的环量与旋度 一、环量 该环量表示绕线旋转趋势的大小。 水流沿平行于水管轴线方向流动 ?=0，无涡旋运动 流体做涡旋运动 ??0，有产生涡旋的源 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分 环量 例：流速场 图0.4.2 流速场 图0.4.1 环量的计算 二、旋度 1. 环量密度 过点P作一微小曲面?S,它的边界曲线记为?L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当?S?点P时,存在极限 环量密度 取不同的路径，其环量密度不同。 2. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 旋度(curl) 它与环量密度的关系为 在直角坐标系下 三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若??A=J?0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)； 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 四、斯托克斯(Stockes)定理 ??A 是环量密度，即围