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小 结 真空中静电场方程的积分形式(实验规律)和微分形式(推导式), 即静电场的散度和旋度. 了解介质的极化规律. 掌握均匀介质中的电场规律 作业: 4, 6 点电荷，令其在原点，则源矢为0 * * * * * * 积分变量转化为? * * * 电极化率：电介质因响应外电场的施加而极化的程度 * * * 第三章 静电场 主 要 内 容 1. 真空中静电场方程 2.介质中的静电场方程 3. 静电场的边界条件 4.电容与部分电容 5. 电场能量和力 6. 镜像法 7. 应用 一. 真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个积分形式的方程 式中?0 为真空介电常数。 左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。 根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即 左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。 再根据亥姆霍兹定理，电场强度E 应为 式中 x P z y r 0 电位以小写希腊字母? 表示，上式应写为 将前述结果代入，求得 因此 标量函数? 称为电位。表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。 将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度 ?S 及线密度?l 的关系分别为 点电荷: 电位方程 有源空间：泊松方程 无源空间：拉普拉斯方程 泊松方程与拉普拉斯方程本质上是二次微分方程，对于特殊形式的方程可以求出通解，再由初始值，得到电位的解。 对于拉氏方程与泊松方程的理解: 这是微分方程，在数学上，有无穷个解，需要确定待定常数 不管是什么样的场问题，都可以用这样两个方程表达 在物理上，当源分布确定时，场的分布也就惟一确定。 确定待定常数的方法，就是空间的边界条件，及场的初值条件等 例1 计算点电荷的电场强度。 点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及极角无关。 取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律 上式左端积分为 得 或 也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时， 。那么点电荷的电位为 求得电场强度 E 为 若根据电场强度公式（3-1-14），同样求得电场强度E为 例2 计算电偶极子的电场强度。 由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位为 若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为 ， 与 平行，则 ? ? x -q +q z y l r r- r+ ? O 式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积 q l 为电偶极子的电矩，以 p 表示，即 求得 那么电偶极子产生的电位为 由关系式 ，求得电偶极子的电场强度为 上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角? 有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。 [X,Y]=meshgrid([-0.1:0.002:0.1]); Z=X./((X.^2+Y.^2).^1.5); mesh(X,Y,Z) axis([-0.1 0.1 -0.1 0.1 -3000 3000]); -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x y y x 2 + 2 ) + = 例3 设半径为a，电荷体密度为? 的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。 x z y a L ? S1 选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度 ? 无关。 取半径为 r ，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。 由问题的对称性，可先求场强，再求电位 由于任