电力系统迭代法高斯迭代法迭代法及收敛性.pptVIP

§8.0 引 言 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和 科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电 路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。 §8.0 引 言 分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。 直接法： 对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。 计算代价高. 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题。简单实用, 诱人。 §8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b) 逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation Method，简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德 尔迭代法，是 G-S 方法的一种修正或加速，是求解大 型稀疏矩阵方程组的有效方法之一。 设方程组AX=b, 其中，A=(aij) 为非奇异阵， x=(x1, x2, …, xn)T, b=(b1, b2, …, bn)T. 假设已算出 x(k) ， 关于SOR方法的说明： 显然，当 时，SOR方法就是Gauss- Seidel方法。 SOR 方法每一次迭代的主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。 时称为超松弛方法， 时称为低松弛方法。 计算机实现时可用 控制迭代终止，或用 SOR方法可以看成是Gauss-Seidel方法的一种修正。 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 定义：(对角占优阵) 设 (1) 如果 元素满足 称 为严格对角占优阵 (2) 如果 元素满足 且上式至少有一个不等式严格成立， 称 为弱对角占优阵。 * 计 算 方 法 第八章 线性方程组的解法 计算方法课程组 求解线性方程组 的求解方法，其中 ， 。 假设 非奇异，则方程组有唯一解. §8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b) 一、迭代法的基本思想 二、例题分析 三、 Jacobi迭代公式 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式： 其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组。 迭代法的基本思想 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{ x(k) }是否收敛以及收敛条件? 2 例题分析: 其准确解为X*={ 1.1, 1.2, 1.3 }。 考虑解方程组 (1) 3.1Jacobi迭代法 2 例题分析: 建立与式(1)相等价的形式： (2) 其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。 考虑解方程组 (1) 3.1Jacobi迭代法 2 例题分析: 其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。 建立与式(1)相等价的形式： 考虑解方程组 取迭代初值 据此建立迭代公式： 迭代结果如下表： 迭代次数 x1 x2 x3 0 0 0 0 1 0.72 0.83 0.84 2 0.971 1.07 1.15 3 1.057 1.1571 1.2482 4 1.08535 1.18534 1.28282 5 1.095098 1.195099 1.294138 6 1.098338 1.198337 1.298039 7 1.099442 1.199442 1.299335 8 1.099811 1.199811 1.299777 9 1.099936 1.199936 1.299924 10 1.099979