连续系统仿真的基础算法.pptx

第3章 连续系统数字仿真的基本算法;3.1 数值积分算法;3.1.1 数值积分算法的基本原理; 假设一阶向量微分方程及初值问题为;在; 所谓数值解法就是寻求初值问题的解在一系列离散时间点 ; 先从标量形式开始讨论。考虑一阶微分方程及初值问题 ;3.1.2 欧拉法;; 欧拉法的图形表示： 为图2.1中的非曲面面积actk+1tk，欧拉法用矩形 面积abtk+1tk代替。;3.1.3 龙格-库塔法; RK法包含有显式、隐式和半隐式等算法。仅介绍显式RK法。 一般形式： ;当r =1时，只有一个k1，就得到了欧拉法 ;于是，有;从而，有RK2法 ; 当r=4时，可得到如下著名的四阶RK法（亦称为经典RK法，简记为RK4法）。 ;几种数值积分法都可以看成是 在 附近用泰勒级数展开而产生的，只不过是泰勒级数所取项数的多少不同而已。欧拉法只取前两项， RK2法取了前三项，RK4法取了前五项。从理论上讲，可以构造任意高阶的计算方法。但是，精度的阶数与计算函数f值的次数之间的关系并非等量增加的。 ;每步计算f 的次数;3.1.4 微分方程数值积分的矩阵分析;具体写出来就是; 在控制系统的仿真中，最常见的向量微分方程是线性定常系统的状态方程 ;3.2 数值积分算法的基本分析;3.2.1 单步法和多步法;与单步法相对应的还有一类数值积分算法，称为多步法。在它的计算公式中，本次计算不仅要用到前一次的计算结果，还要用到更前面的若干次结果。例如AB4法:;3.2.2 显式算法和隐式算法;隐式算法也不是自启动的算法，需要用另一个显式算法估计一个初值，然后再用隐式算法进行迭代运算，这就构成了预估-校正算法。 ;3.2.3 截断误差和舍入误差;这种由数值积分算法单独一步引进的附加误差称为局部截断误差。它是数值积分算法给出的解与微分方程的解析解之间的差，故又称为局部离散误差。步长h越小，局部截断误差就越小。; 以上的分析是在假设前一步所得结果是准确的前提下得出的，即 ;3.2.4 数值积分算法的计算稳定性;1. 计算稳定性的概念; 【解】该初值问题的解析解为 ;取;图2.2 (d) 欧拉法（h=0.075） ; 从图中可以看出，解析解单调下降并迅速收敛到0。 ;欧拉法 ;通常用一个??单的一阶微分方程来考查数值积分算法的计算稳定性。 ;2. 欧拉法的计算稳定性;; 显然，对于欧拉法，合理地选择步长h使其满足 是保持其计算稳定性的充要条件。 ;3. 龙格-库塔法的计算稳定性;显式RK法都是条件稳定算法，步长h的大小除了与所选用的算法有关外，还与方程本身的性质有关。对于实际系统，由于其特征值不一定为实数，因此满足（2.40）式的也是复数。一般而言，步长h必须满足不等式 (2.41) ;4. 多步法的计算稳定性;方法的阶数;3.2.5 数值积分算法的计算精度、速度、稳定性与步长的关系;返回; 【例2.2】 考虑如下二阶系统; 从表2.4中可以看出，当步长h=0.05时，总误差最小；当步长h小于0.05时，由于舍入误差变大而使总误差增加；当步长h大于0.05时，则由于截断误差的增加也使得总误差加大。另外，当系统的解变化激烈时（如R=0），误差对步长的变化较为敏感；当系统的解变化平稳时，步长的变化对误差的影响就要缓和得多。数值积分算法确定以后，在选择步长时，需要综合考虑。 ; 对于一般工程系统的分析和设计而言，仿真结果的误差不超过0.5%就可以满足精度要求了。经验表明，对于RK4法，通常可以根据系统方程中的最小时间常数来选择步长，一般取; 如果采用欧拉法，则为了达到相同精度，步长还要取得更小。显然RK4法的计算效率较高，这就是控制系统数字仿真中通常选用RK4法的重要原因之一。 ;3.2.6 数值积分算法的选择原则;计算速度 计算速度取决于在给定积分时间内的计算步数和每步计算所需的时间。在右端函数复杂、计算量大而精度要求又高的问题中，可以采用Adams预估-校正法。为了加快计算速度，在积分算法选定后，应在保证精度的前提下，尽量选择较大的步长，以减少计算步数。 计算稳定性 保证数值解的计算稳定性，是进行数字仿真的先决条件。从计算稳定性的角度来看，同阶的RK法优于显式Adams法，但又不如隐式Adams法。最好避免使用显式Adams法。 ;自启动能力 单步法具有自启动能力。多步法没有自启