---向量空间及基.pptVIP

目录 后页 返回 * 前页 定理5.1.1 ---向量空间的基 定义5.1.3 ---线性相关与线性无关 定义5.1.4 ---基 例3 例4 §5.1 向量空间 定义5.1.1 ---向量空间 定义5.1.2 ---子空间 例1 例2 例5 定义5.1.5 ---维数 例6 例7 例8 例9 例10 定义5.1.1 非空集合 称为域 上的向量空间 (vector space)或线性空间(linear space), 如果 关于 加法（记作“+”）运算构成一个交换群，并且对每个 , 在 中可惟一地确定一个元素 (称为 与 的标量乘法)，使得对所有的 ， , 以 下四个条件都满足： (M1) ; (M2) ; (M3) ; (M4) . 向量空间中的元素称为向量(vector). 域中的元素 称为标量或者纯量(scalar). 注　在高等代数课程中, 我们涉及到的向量空 间（或线性空间）的基域都是数域,是无限域, 且是 特征为零的域, 但我们这里的基域可以是一般的域, 它可以是有限域, 且域的特征也可以是素数. 例1 集合 是域 上的 向量空间, 其加法运算和标量乘法运算分别为 例2　设 是素数, 则 是一个域. 系数在 上的一元多项式环 是 上的向量空间. 例3　复数域 是实数域 上的向量空间, 运算 是通常的复数的加法和乘法运算. 例4　域 上的所有 矩阵的集合 关于 如下矩阵的加法和标量乘法运算构成 上的向量空 间 例5　（这个例子是例3的推广. 虽然它看上去 很平常,但却是域论中最重要的例子之一）设 是域， 是 的子域, 那么 是 上的向量空间. 向量空间 的运算就是域 中的运算. 因此, 根据第三章定理 3.6.5, 每个域都可看成是某个素域上的向量空间. 定义5.1.2 设 是域 上的向量空间， 是 的 非空子集. 如果 关于 的运算也构成 上的向量空 间, 则称 为 的子空间． 例6　集合 是 上 的由所有系数在域 上的多项式组成的向量空间 的子空间. 例7　设 是域 上的向量空间， 是 中的向量(它们不必互不相同), 那么子集 称为 的由 张成的子空间. 形如 的元素称为 的线性组 合． 如果 ，那么我们称 张成 ．一般地, 设 是 的任一非空子集. 如果 中任一 元素都是 中有限多个元素的线性组合, 则称 张 成 定义5.1.3 　向量组 称为在 上线性 相关(linearly dependent), 如果存在不全为零的元 , 使得 . 如果 向量组在 上不是线性相关的, 则称为在 上线性无 关(linearly independent). 例8　设 , 则 中的向量组 ， ， 在 上是线性无关的. 因为假 设存在 , 使得 那么 , 于是 . 定义5.1.4 设 是 上的向量空间. 是 的 一个非空子集. 如果 中任一有限子集都在 线性无 关, 且 张成 , 则称 为 的基. 例9　集合