变分协调高阶剪切变形梁理论的应用.DOCVIP

梁的高阶剪切理论及六阶微分方程的求解 石广玉 天津市 天津大学力学系 300072 shi_guangyu@163.com 摘要：Timoshenko 线性剪切梁理论解决了Bernoulli-Euler 梁理论中的很多问题。但Timoshenko 梁理论的四阶微分方程系统也带来新的困惑，如梁的固定支座处的位移边界条件。四阶微分方程只需要梁的每个端点有两个位移边界，但梁的固定支座却有挠度，截面转角及挠曲线的斜率三个位移边界。若从梁的固定端的位移边界条件推论，当梁横截面的转角为独立变量时，梁的以位移表示的平衡方程应为一个六阶微分方程系统。作者根据他以前基于弹性力学方程推导的精化壳理论的高阶位移场推导了一个具有六阶微分方程的新梁理论，它可圆满地解决固定支座处的三个位移边界条件问题，及集中力作用处的位移连续问题。本文探讨所得梁弯曲问题的六阶微分方程的解析解求解方法及其应用。两个算例表明，本文所给方法可有效地求解梁的六阶微分方程，及所得结果可给出比 Timoshenko 梁理论更准确的位移场和应力场。 关键词：梁理论， 剪切变形，变分协调，六阶微分方程，解析解 引言 自 Timoshenko 线性剪切梁理论问世以来，它解决了很多Bernoulli-Euler 经典梁理论使人困惑的问题，如梁的横向剪切应力对梁的变形及强度的影响、梁的极限相速度、接触问题中的应力集中问题等 [1]。尽管 Timoshenko 梁理论中的独立场变量从Bernoulli-Euler 梁理论的一个场变量增为两个场变量，但它以两个位移场表示弯曲平衡的微分方程的总微分阶数仍为四阶。这个四阶微分方程系统也带来新的困惑，如悬臂梁的位移边界条件，四阶微分方程只需要梁的每个端点有两个位移边界，但悬臂梁的固定端却有挠度，截面转角及挠曲线的斜率三个边界条件。如何从三个位移中选取两个？于是人们人为的设定了“固定端”与“夹住端”两类固支约束 [1]，其中，“固定端”只约束梁的挠度和截面转角，而 “夹住端”则可约束挠度，转角及挠曲线斜率三个位移，并规定悬臂梁的支座为固定端，即只有挠度和截面转角为零两个边界条件。其实，这种对固定支座位移边界的划分只是为了避免与微分方程的矛盾而已，它不符合固定支座处的物理现象。那么如何解决这个矛盾？Reissner 当年建立板的剪切变形理论的动机就是发现 Kirchhoof 板理论中的四阶微分方程与三个自然边界条件的矛盾，从而建立了具有六阶微分方程的板理论。Reissner 板理论退化为一维时为 Timoshenko 梁理论， 即也为一个四阶微分方程。若从梁的固定支座的位移边界条件推论，当梁横截面的转角独立于梁挠曲线时，梁的以两个独立位移场表示的平衡方程应为一个六阶微分方程系统。作者根据他以前基于弹性力学推导的精化壳理论的高阶位移场 [2] 推导了一个具有六阶微分方程的新梁理论 ，它可圆满地解决固定支座处的三个位移边界条件问题，及集中力作用处的位移连续问题。本文探讨所得六阶微分方程的解析解求解方法及其应用。两个算例表明，本文所给方法可有效地求解梁的六阶微分方程，及所得结果可给出比 Timoshenko 梁理论更准确的位移场和应力场。 基于新三阶剪切变形理论的梁的高阶平衡微分方程 基于作者用弹性理论推导的精化壳理论中的高阶位移函数 [2] 给出了一个简单三阶剪切变形板理论 [3]。若用 x 和 z 分别表示沿梁轴线和厚度方向的坐标，梁内任一点的轴向位移和横向位移分别为： (1) (2) 式中下标 ‘0’ 表示梁中性层处（z = 0）的数值。场变量 和 是梁横截面的平均转角和横向位移， 他们也可看作梁的广义位移 [1]。方程（1）和（2）与 Timoshenko 梁理论相比有相同的场变量 和 ，却具有三阶的剪切变形。方程（1）与 Bickford [4] 和 Reddy [5] 所用的位移函数不同，但与 Murthy [6] 用的假设位移相同。然而 Murthy 所给的平衡方程却不是变分协调的 [3]。 为简单起见，本文用 w 表示截面的平均横向位移 ，及仅考虑梁的弯曲变形，故可省略梁中性层的轴向位移 。因此式（1）（2） (3) (4) 式中 和为两个常数。使用变分原理推导的变分协调平衡方程为 [3] (5) (6) 其中 q 是分布载荷集度，D 和 T 分别为梁的抗弯刚度和抗剪刚度。若和分别为正交各项同性梁的轴向弹性模量和横向剪切模量，则有 (7) 式中 h 为梁的高度。容易验证，式（5）和式（6）所给平衡方程与 Murthy [6]，Bickford