定积分与不定积分及其性质应用例题解析.docVIP

§4 定积分的性质 教学目的与要求： 1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法. 2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学重点，难点： 1. 定积分的性质极其证明方法. 2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学内容： 一 定积分的基本性质 性质1 若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且 .　　　　　　　　　　　 （1） 证 当k=0时结纶显然成立. 当k时,由于 其中J=因此当f在[a,b]上可积时,由定义,任给 　　　 从而 　　 　 即kf在［a,b］上可积，且 　 性质２　若f﹑g都在［a,b］可积，则f在［a,b］上也可积，且 　　　　　　 （2） 证明与性质１类同。 注1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为 　　　 其中a﹑为常数。 注2 在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积. 在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]上不可积， 则另外一个在[a,b]上必不可积. 性质３ 若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积。 证　由f、g都在［a,b］上可积，从而都有界，设 　　　　　　　　Ａ＝　Ｂ 且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）。 任给由f、g可积，必分别存在分割、，使得 　　　　　 令（表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割T）。对于[a,b]上T所属的每一个，有 利用§3习题第1题，可知 这就证得f·g在[a,b]上可积. 注 在一般情形下. 思考：有没有相除后可积的性质？ 若f﹑g都在［a,b］上可积，|f(x)|m0,x[a,b],则在[a,b]上可积. 事实上，由条件可证在[a,b]上可积(本节习题第7题).再由性质3知在[a,b]上可积. 性质4 f在[a,b]上可积的充要条件是：任给，在[a,c]与[c,b ]上都可积。此时又有等式 （3） 证 [充分性] 由于f在[a,c]与[c,b]上都可积，故任给分别存在对[a,c]与[c,b]的分割，使得 现令它是[a,b]的一个分割,且有 由此证得f在[a,b]上可积. [必要性] 已知f在[a,b]上可积,故任给存在对[a,b]的某分割T,使得在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割由§3习题第一题,又有 分割在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为,则有 这就证得f在[a,b]和[b,c]上都可积. 在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对[a,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[a,c]与[c,b]上的部分各自构成对[a,c]与[c,b]的分割,分别记为.由于 因此当时,对上式取极限,就得到(3)式成立. 注 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性. 当时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的 可加性.如图9 – 10所示,曲边梯形AabB的面积等于 曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积之和. 按定积分的定义,记号只有当a＜b时才 有意义,而当a=b或 a＞b时本来是没有意义的.但为了 运用上的方便,对它作如下规定: 规定1 当a=b时，令 规定2 当a＞b时，令 有了这个规定之后，等式（3）对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如，当 a＜b＜c时，只要f在[a，c]上可积，则有 = 性质5 设f为[a，b]上的可积函数。若则 （4） 证 由于在[a，b]上，因此f的任一积分和都为非负。由f在[a，b]上可积，则有