四高职不定积分教案.docVIP

不定积分 基本要求： 理解原函数与不定积分的概念； 掌握不定积分的性质和了解不定积分的几何意义。 授课内容： §4-1 原函数与不定积分 原函数 定义1 如果对任一，都有 或 则称为在区间I 上的原函数。 例如：，即是的原函数。 ，即是的原函数。 原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。 注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。 设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。 注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即 （C为常数） 注3：如果为在区间I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。 如果为的一个原函数，则 ，（为任意常数） 因为 ， 得 因为，时，；时，，得 ，因此有 设曲线过点，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。 解：设曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为 从而 由，得，因此所求曲线方程为 三、不定积分的性质 由原函数与不定积分的概念可得： 四、不定积分的几何意义 不定积分的几何意义如图5—1所示： 图 5—1 设是的一个原函数，则在平面上表示一条曲线，称它为的一条积分曲线．于是的不定积分表示一族积分曲线，它们是由的某一条积分曲线沿着轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标的点处有互相平行的切线，其斜率都等于． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式，再从中确定一个满足条件 (称为初始条件)的原函数．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点的积分曲线． 例4 设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程． 解 设所求曲线的方程为，按题意有 ． 于是 ． 因为这曲线通过点，代入上式可得．故所求曲线的方程为 ． 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用。 基本要求： 巩固不定积分的概念； 掌握不定积分的基本公式和不定积分的性质； 熟练掌握直接积分法。 授课内容： §4-2 不定积分的概念与性质 不定积分的的基本公式及性质 1、积分公式 1) (为常数) 2) () 3) 4) 5) 2、不定积分的性质 性质1． 性质2．，　（为常数，） 二、直接积分法 求　 解： 　　　 求　 解： 　　　 求　 解： 　　　　　 例4．求　 解： 　　　 求　 解： 　　　 求　 解： 　　　 基本要求： 了解换元积分法的基本思想； 熟练掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法。 授课内容： §4-3 换元积分法 第一类换元积分法（或称凑微分法） 设为的原函数，即 或 如果 ，且可微，则 即为的原函数，或 因此有 定理1 设为的原函数，可微，则 (2-1) 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 求 解： 求 解： 求 解：原式= 求 ， 解： 求 解： 求 解： 求 解： 求 解： 第二类换元积分法 定理2 设是单调的可导函数，且，又设 具有原函数，则 (2-2) 其中为的反函数。 公式(2-2)称为第二类换元积分公式。 求 ， 解：令 ，，则 ，，因此有 求 ， 解：令 ，，则 ，，因此有 其中。用类似方法可得 求 解： 小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即或，与，分别适用于三类函数，与。“倒代换”也属于第二类换元法。 基本要求： 熟悉不定积分的分部积分公式； 掌握三种不同类型函数的分部积分法。 授课内容： §