三个和尚没水喝数学模型.docxVIP

三个和尚没水喝？问题的背景及提出“一个和尚挑水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝”的故事我们已经耳熟能详，在此不再复述故事的具体内容。三个和尚的故事意在告诉我们：做人不能自私自立，只有团结合作才是力量的源泉。抛开这个虚构的故事本身，我小组三人对这样一个博弈模型做出一番思考，对三个和尚是否没水喝、什么样的条件下没水喝作出分析，并进行了更为深入的研究。问题的假设及条件我们在此假设三个和尚的智力完全相同，所做的决定互相对称身体状况完全相同三个和尚之间没有相互排斥的情况（即每当和尚A去挑水，和尚B就不去）假设总共一个水桶，装水量V抬水所需的能量为T（这里能量和水量可以等价），T可均分给去挑水的m个人和尚每次去挑水走路需要的能量为S假设和尚们之前互相不知道谁去挑水，他们猜测每个和尚去挑水与否的概率都是0.5模型一——简单的均分模型设只要有人去挑水，得到的水便可以平分，即每个人得到V/3水于是和尚A假如选择不去挑水，所得的期望为A选择去挑水时，所得的期望为这时我们看到，当时，A才会选择去挑水，也就是说当所得水为均分条件时，选择不去挑水大多是明智的，也为只要有人去挑水，自己就有水喝。这个结果也符合真实情况。模型二——简单的非均分模型首先假设去挑水的和尚可以分得所有水，即m个和尚去挑水，每人获得水。这样一来，和尚A选择不去挑水，所得的期望为若选择去挑水，所得的期望为如此看来，若和尚应选择不去挑水，反之，去挑水则是应选策略。从现实来讲，所得结果反映的是“付出大于回报则不付出，回报大于付出则付出”的思想。事实上我们知道，的情况是极其少见的，就是说，如果去挑水的人分得全部水，则和尚们都会选择去挑水。我们再来看另一种情况，假设去挑水的和尚所分得的水是不去挑水和尚的k倍（k1）那么若和尚A选择不去挑水，他所得的期望为若和尚A选择去挑水，他所得的期望为因而选择挑水的条件为，且为增函数，就是说挑水比不挑水得到的报酬越多，就越应该选择挑水，时，即是1中情况。模型三——带有排斥的模型三个人中一般不可能存在两两排斥的情况，我们首先假设A与B互相排斥，即A去挑水，B则不去，B去挑水，A也不去，若三人公布抉择后得知A、B都去，则他们会突然选择都不去。由于存在排斥，得水均分的情况也将不存在，假设三个和尚依旧采取去打水者分得所有水的约定。先来考虑A的情况，由于B不知道A的策略，只能猜测A去挑水与不去挑水的概率各位0.5，则B去挑水的概率为这个概率即是A猜测B挑水与否的概率。那么若A不去挑水，所的期望为若A去挑水，所得期望为相比模型二中的1（），此模型选择去打水的条件为，条件更弱，也就是说在A、B相互排斥且所得水全归挑水人所有时，A选择去挑水的概率更大，这是因为在A看来B去挑水的概率更小了，这实际上是符合逻辑的，因为B原本的概率都为0.5，但A对B的影响实际上一种类似阻挠的影响。但换个角度看，由于B与A是对称的，B也应选择去挑水，这样一来最终的结果仍然是A、B都不去挑水。再来分析C，C我们设C知道A、B相互排斥这一事实。在C看来，A、B去与不去的概率仍为0.5，只是A、B同去的概率为0C不去挑水，所得期望为C去挑水，所得期望为C选择去挑水的条件与A、B相同，这恰恰反映了C的心理，那就是A、B相互排斥的情况下，去挑水的人必然减少（减少了A、B同去的一种情况），即三个人共同分水的情况不复存在，C只有可能一人独享或二人平分，自然更远选择去挑水。我们再来考虑更为复杂一些的排斥模型，设1中的其他条件全都成立，只对水的分配进行修改，假设A单独去挑水或A与C共同挑水，则不分给B，由A、C平分，A，B对称；若C单独挑水，则A、B、C平分。实际上是一个均分模型。这样一来，若A不去挑水，所得期望为若A去挑水，则所得期望为于是有A去挑水的条件为，此条件与模型一中得到的结果显然不同，虽然都是均分模型，但是明显弱于模型一。原因是A知道B不会为自己挑水，不劳而获的概率从而减小，于是主动挑水的概率增大。再来考虑C若C选择不去挑水，则所得的期望为若C选择去挑水，则所得期望为C去挑水的条件为，要强于A、B条件，就是说C在明知自己的水一定会被A、B所分的情况下不愿去挑水。模型四——简单的按需分配模型如果每个人所需要的水量不同，设为。由“两个和尚抬水吃”这一句，可以假设，假定每个人去挑水的概率与所需的水量成正比，即=a。假设去挑水的和尚可以分得所有水，即m个和尚去挑水，每人获得水。这样一来，和尚A选择不去挑水，所得的期望为若选择去挑水，分为两种情况：若，则所得的期望为若，则所得的期望为两种情况相比较，则①-②=。则当时，①的期望更大。从现实来讲，所得结果反映的是：并不是越多的人合作越好；人数过多时，每个人的收益就不一定能满足需求。但就总体而言，如果去挑水的人分得全部水，则和尚们还是大都会选择去挑水，因为三个人