台北市立建国高级中学第131期通讯解题题目解答及评析.docVIP

臺北市立建國高級中學第1期 依序將正整數1, 2, 3, 4, … 的平方數排成一列：149162536496481100121…，排在第一個位置的數字是1，排在第七個位置的數字是5，排在第十個位置的數字是4，則排在第2016個位置的數字是多少？ 【簡答】7 【詳解】平方數為1位數的有 3 個、平方數為2位數的有 6 個、平方數為3位數的有 22 個、平方數為4位數的有 68 個、平方數為5位數的有 217個、平方數為6位數的有 683個。, , ，故所求為第97個6位數的第二個數字，,?，故所求為7。 本題屬於較容易的數論題，只要能做有效率的分類加上細心的計算，大多數同學都能算出最後答案，但部分同學們的計算有失嚴謹，被扣了一些分數實屬可惜。希望同學們以後不論遇到什麼樣的題目，都要抱著耐心謹慎的態度。才不會走了冤枉路又沒算對。本題共19人參與徵答，有12人獲得滿分。 有一遞增的等差級數，以表示其中前n項之和，若，問：此等差級數裡共有幾項為負數？ 【答】【】等差級數遞增。由S123 = S321，得= d =。 d=0時，a1 = 0，此一情況下，等差級數負數d＞0時，a1＜0，此一情況下，設ap＜0，p是正整數，則因ap = a1 + (p–1)d，得＜0，而知443–2(p–1)＞0 p＜，得p = 1, 2, 3, … , 222，【】等差級數Sn = a1 + a2 +…+ an，若S123 = S321，則S321–S123 = 0 a124 + a125 +…+ a321=0， a124 + a321 = a125 + a320 = …= a222 + a223 = 0，又，此等差級數遞增，設其公差為d，則， d=0時，等差級數a1 + a2 +…+ an 每一項皆為0，其中沒有負數項。 時，由a222 + a223 = 0，可知a222＜0且a223＞0，故a1, a２,…, a222皆為負數，而a223, a224, a225,…皆為正數，而知此等差級數a1 + a2 +…+ an 裡共有222項為負數。 【評析】等差級數a1 + a2 +…+ anan = a1 + (n–1)d與首n項和，應是同學所熟知的公式，本題相當簡易，引用此二公式即足以輕鬆解題，如以上【詳解】；當然，如果對於等差級數利用公式解題，當數據較大而計算不易時，有時採取符號操作來代替數值計算，可有減少計算量之功，譬如以上【詳解】，可改寫如下：等差級數a1 + a2 +…+ anSp = Sq，=，，p–q≠0===，因此，若，則＜0，==＞0，而知等差級數a1 + a2 +…+ an遞增時，其中有= 222項為負數。本題共應徵答題等差級數遞增遞增等差級數滿分7分6分：台北市國中北市國中 台北市國中市中 新竹市實驗高中鄭百里同學；新北市國中 新北市國中北市 新北市國中3分：台北市國中2分：台北市國中 中，，已知P為的內部一點滿足且，證明。 【】的對稱點Q，得為正三角形，作點P對之中垂線的對稱點R，得且，所以四邊形PRCB為等腰梯形，得，所以，得。故。 【】，則，過點A作的垂線交於H，得，延長交於D，得，作外接圓圓心O，得，所以為正三角形，得且，所以，得，又為的角平分線，所以，得，所以為的角平分線，所以。 【評析】 本題給定，可作對稱或外接圓得出正三角形，再運用全等或相似的性質來證明。 本題徵答人數3人，新北市文山國中吳志強同學證明過程嚴謹獲得滿分7分。台北市興雅國中周聖哲同學、台北市麗山國中江子新同學得到部分分數。最後提醒一下，在證明的過程中，必須將已知的條件和要證的部份弄清楚，不可以倒因為果。 從1到200的自然數中，任意取出29個相異的數，證明：在這29個數中一定存在四個數，其中有兩個數的和等於另外兩個數的和。 【證明】在1到200的自然數中，任二個數的和只能是3, 4, 5, …, 399，共397種可能，在任取29個自然數中，其中任意兩個數的和至多有種可能，而，由鴿籠原理知這406種可能的和至少有兩組相同，所以一定存在四個數，其中有兩個數的和等於另外兩個數的和。 【評析】 此題多數參與作答的同學都有把關鍵「1到200的自然數中任兩數的和共有397種可能，但任取29個數的和至多有406種」寫出，江子新同學、黃元顥同學、吳尚昱同學、王勻同學、鄭百里同學都獲得7分的滿分；可惜周聖哲同學在討論時不夠嚴謹，獲得5分。本題徵答人數共有6人，獲得7分的同學共有5人，名單如下：台北市麗山國中江子新同學、台北市中正國中黃元顥同學新北市貢寮國中吳尚昱同學、新北市中山國中王勻同學、新竹市實驗高中鄭