光学设计第11章波像差.docVIP

第十一章 波像差 前面对像差的讨论是以几何光学为基础的，用光线经过光学系统的实际光路相对于理想光路的偏离来度量的，统称为几何光学。但光线本身是一抽象的概念，用它的密集程度来评价像质，在很多场合下与实际情况并不符合，而且像差也不可能校正为零。因此，必须考虑像差的最佳校正方案和像差的容限问题，它与系统的使用要求和使用状况有关。这些像质评价问题常须基于光的波动本质才能解决。 几何光学中的光线相当于波动光学中波阵面的法线，因此，物点发出的同心光束与球面波对应。此球面波经过光学系统后，改变了曲率。如果光学系统是理想的，则形成一个新的球面波，其球心即为物点的理想像点（实际上，由于受系统有限孔径的衍射，即使是理想系统也不可能对物点形成点像）。但是，实际的光学系统的像差将使出射波面或多或少地变了形，不再为理想的球面波。这一变了形的实际波面相对于理想球面波的偏离，就是波像差。 波像差与像质评价问题密切相关。例如要计算斯特列尔强度比（即中心点亮度）和光学传递函数时，就必须求知波像差，而瑞利判断更是直接以波像差的大小来作评价标准的。加之波像差与几何像差之间有内在联系，利用这种联系，可在一定程度上解决像差的最佳校正问题和容限问题。 §1. 轴上点的波像差 对于轴对称光学系统，轴上点发出的球面波经系统以后，只是由于唯一的球差，使出射波面变形而偏离于球面。由于轴上点波面是轴对称的，其波像差只需从波面与子午平面相截的截线上，取光轴以上的一方来考察即可。 图11－1 轴上点的波像差 如图11－1所示，是波面的对称轴（即系统的光轴），是系统的出射光瞳中心。以实际光线与光轴的交点为圆心，以为半径做圆（实际为球面），即为实际波面。过点做与光轴成像方孔径角的直线，就是实际光线，设实际光线与实际波面相交于点，则。 选择光轴上的一点为参考点，例如高斯像点，那么即为像方孔径角为时的球差：。过点以为半径做圆，称为参考波面。并令与参考波面的交点为，则，设与光轴夹角为。定义为波面像差，简称为波像差。并用表示 并且规定，实际波面在参考波面之后的波像差为负，图11－1中的波像差为负。 设参考球面上点的坐标为，即，实际球面上点的坐标为，即，有： ， 则：， 其中：，，， 则有： 另外：， 则：， 将此式微分得： 将这二式中的第一式乘，第二式乘，相加 由，得；，则 如果忽视角和的差别，则近似为 当光学系统的孔径不大时，则可以进一步简化为 因此，以最大孔径角为积分上限值，波像差为 这就是波像与球差之间的关系。 对于物在无限远的系统，将表示为，则 当球差与的函数关系已知时，便可由此式求出波像差值。但是，在一般情况下，与的函数关系难以用明确的表达式表示出来。在实际工作中可以利用球差的级数展开和球差曲线来求波像差。 将球差展开成以为变量的级数表示式，当取前两项时： 当对一个已知的系统，用光路计算出两种孔径角和的球差和以及出射孔径角和后，带入上式可得两个方程，联立求解，便可求得和，则得到波像差 由于积分值等于函数曲线与自变量坐标轴所围成的面积，因此由波像差的表达式可见，如果根据光线光路计算的数据，以为纵坐标轴来画球差曲线，如图11－2（a）所示，则曲线与纵坐标轴所围面积的一半（）就是波像差。由此，可以得到波像差曲线，如图11－2（b）所示。 图11－2 球差曲线和波像差曲线 §2. 轴外点的波像差 轴外物点发出的光束，通过光学系统以后，由于失去了轴对称性，通常用光线与某一参考平面（如高斯像平面）的交点距某一参考点（如理想像点）之间的偏离量的两个分量和来描述由轴外物点发出的某一光线的像差，即像差的两个垂轴分量：子午分量和弧矢分量。相应地，轴外点的波像差也可以表示成与垂轴像差这两个分量之间的关系。 如图11－3所示，分别以出射光瞳中心和高斯像面中心为原点作相互平行的两个右手直角坐标系和。设为轴外点发出的光束通过光学系统的实际波面，为理想像点为中心的理想波面，它们在出射光瞳中心处与实际波面相切，理想波面作为参考球面，其半径为。设轴外点发出的某一条光线与波面和分别交于点和点，与理想像平面交于点。光线的方向余弦设为。显然乘以折射率，即为实际波面上点的波像差。 图11－3 轴外点的波像差 线段在三个坐标轴上的投影分别为： ，， 按的符号法则，图中为负，即 代入上式，得到： ，， 微分以上公式组，得到： 以上三式分别乘以，相加，得到 由于，故得 实际波面的方程为，，微分得到 这实际上为波面上点处的切平面方程。通过点的光线，即波面上点的法线，为： 此法线（亦即实际光线）的方向余弦为： ，， 或写为： ，， 因此得到： 故尔得到： 由图11－3所示，的方向余弦为： ，， 其中是未知量，