【第3章】离散傅里叶变换(dft).pptVIP

可见，XM(k)也可以表示x(n)的频率结构. 在k=rm时，XM(rm)=mX (r) 表示x (n)的r次谐波谱线，其幅度扩大m倍. 在其它k值时, XM(k)=0. X(r)和XM(k)对应点频率是相等的. 因为(2π/N)r= (2π/mN)mr，所以，只要截取x(n)的整数个周期进行DFT就可以得到它的频谱结构，达到谱分析的目的. ~ ~ ~ ~ 再将截取长度扩大一倍，截取2M进行DFT： 如果x(n)的周期预先不知道，可先截取M进行DFT. 即 ~ 比较XM(k)和X2M(k)，如果二者的主谱差别满足分析误差的要求，则以XM(k)和X2M(k)近似表示x(n)频谱. 否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得的主谱频率差别满足误差要求. 设最后截取长度为rM，则XrM(k)表示频率为(2π/rM)k点的谱线强度. ~ 设序列x(n)长度为N，要分析Z平面上M点频谱采样值，分析点为zk, k=0,1,…,M-1. 3.Chirp—Z变换 设 zk=AW-k, 0≤k≤M-1 式中A和W为复数，用极坐标形式表示为： 式中A0和W0为实数. 当k=0时有： 将zk代入ZT公式得到 利用关系式： 得到： Chirp_ z变换计算框图 输入序列长度N和输出序列长度不需要相等，且二者均可以是素数. 分析频率点zk的起始点z0及相邻两点的夹角φ0是任意的(即频率分辨率是任意的)，因此可从任意频率上开始，对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析. 谱分析路径可以是螺旋形的. 当A=1，M=N时，zk均匀分布在单位圆上，此时Chirp-Z变换就是序列的DFT. Chirp—Z变换的特点 用DFT对连续信号进行谱分析，要对连续信号采样和截断，由此可能引起分析误差. 4. 用DFT进行谱分析的误差问题 对连续信号采样时，采样频率必须满足采样定理，否则会在ω=π附近发生频率混叠. 对模拟域频率，即在f=fs/2附近发生频率混叠. 这时用DFT分析的结果必然在f=fs/2附近产生较大误差. （1）混叠现象 N点DFT是在频率区间[0, 2π]上对信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数是不知道的. 这种现象叫栅栏效应. 由于栅栏效应，有可能漏掉大的频率分量. 为了把被“栅栏”挡住的频率分量检测出来，可以采用在原序列尾部补零的办法，改变序列长度N，从而增加频率采样点数和改变采样点的位置，使原来漏掉的某些频率分量被检测出来. （2）栅栏效应 （3）截断效应 实际中遇到的序列x(n)可能无限长，用DFT进行谱分析之间前必须先对其截断形成有限长序列y(n)=x(n)·RN(n). 根据傅里叶变换的频域卷积定理有： 其中： 幅度谱RN(ω)~ω曲线如图所示[RN(ω)以2π为周期，只画低频部分]. 图中|ω|2π/N的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣. 例如 x(n)=cos(ω0n), ω0=π/4其频谱为： 将x(n)截断得y(n)=x(n)·RN(n)的幅频曲线如图. 截断后序列的频谱Y(ejω)与原序列的频谱X(ejω)必然有差异. 这种差异对谱分析的影响主要表现在两个方面：(1)频率泄露；(2)谱间干扰. 加矩形窗前后的频谱 频率泄漏 图示可知，原来序列的频谱是离散谱线，经截断后，原来离散的谱线向附近展宽，这种现象称“泄漏”. 泄漏使频谱变模糊，使谱分辨率降低. 谱间干扰 在主谱线两边会形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰. 特别是强信号谱的旁瓣会湮灭弱信号谱的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一信号的谱线，从而造成假信号. 变换域的关系 模拟时域x(t) s复频域X(s) 离散时域x(n) z复频域X(z) 数字频域X(ejw) 离散频域X(k) 采样 采样 离散时域到离散频域的途径 离散时域x(n) 周期延拓 取主值区间 离散频域X(k) 3.4 DFT的应用 3.4.1 用DFT计算线性卷积 则由时域循环卷积定理有 可见，循环卷积可以按照下图所示的计算框图在频域计算. 由于DFT有快速算法FFT，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积. 实际中，往往需要计算两个序列的线性卷积，而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此需要导出线卷积和循环卷积之间的关系. 若h(n)和x(n)是长度为N和M的有限长序列. 则 其中: L≥max［N, M］ 对照线性卷积表达式，可以看出上式中： 结论: 循环卷积yc(n)等于线性卷积yL(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列. yL(n)的长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度L≥N+M-1时，yL(n)以L为周期进行周期延拓才无混迭现象. 循环卷积等于线性卷积的条件是L≥N+M-1. 下图画出h(n)、x(n)、 h(n)*x(n)和