第3讲傅里叶变换的基本概念及基本定理.pptVIP

恩格斯(Engels) 把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论. 三角傅里叶展开的例子 三角傅里叶展开的例子 三角傅里叶展开的例子 二维傅里叶变换 ——指数傅里叶级数 二维傅里叶变换 —— 指数傅里叶级数 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义及存在条件 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续) 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续) 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform广义 F.T. 二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T. 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T. 定义: 是圆对称函数 1.5 F.T.定理 -- F.T.的基本性质 F.T.定理 空间缩放 二、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting 卷积定理的证明 F.T.定理 -- Parseval定理的证明 1.5 FT的基本性质及有关定理 给出FT的一些重要性质和有关的定理。 利用这些性质和定理，只知几个函数的FT，就 求出许多其它函数的FT。 这些性质和定理在线性系统分析、信号处理、 图像处理中经常用到。 1.5-1 基本性质 1)．线性性质（均匀性，叠加性） 其中：a 和 b 是常数 和的FT等于FT的和————叠加性 幅值按同样的比例缩放————均匀性 同时具有叠加性和均匀性———线性性 2). 对称性质 证明: 关于FT的对称性还有： 若f(x,y) 为偶函数，则 F(u,v) 也是偶函数， 即: 若 f(-x,-y) = f(x,y), 则 F(-u,-v) = F(u,v)。 若 f(x,y) 为奇函数，则 F(u,v) 也是奇函数， 即：若f(-x,-y) = -f(x,y), 则 F(-u,-v) = -F(u,v)。 3). 迭次FT (x, y) (u, v) (-x, -y) f(x,y) F(u,v) f(-x,-y) (a) (x, y) (u, v) (x, y) f(x,y) F(u,v) f(x,y) (b) 4)．坐标缩放性质 a和b是不为零的实常数 光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致 空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。 如：孔径夫琅和费衍射。 注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然. g(x) x 0 1/2 -1/2 1 g(ax) a=2 x 0 1/4 -1/4 1 f G(f) 0 1 -1 1 f 0 2 -2 1/2 空域压缩 F.T. F.T. 频域扩展 5)．平移性 空域中的平移造成频域中频谱的相移。 光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不变性。 例如：孔径的夫琅和费衍射（加透镜） x0， y0为实常数 {g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)] 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T. 频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移. {g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变. 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb) 复指函数的F.T.是移位的d 函数 强度分布（衍射图样） f f y1