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上海中学数学·2014年第5期 解题反思 提高能力 221003 顾玉石 江苏省徐州市第三十五中学 李文磊 波利亚曾经说，如果学生得到问题的解答，并且 很干净利落地写下论证后就会合上课本，去做其他 事情．这样做，学生就错过了解题的一个重要而有教 益的方面——解题反思．波利亚认为，学生通过回顾 C 所完成的解答，重新考虑与检查这一结果及其解答 路径，可以巩固知识，发展解题能力． 图l 图2 “解题反思”是指对一道数学题经过艰辛尝试， 获得正确的解答过程之后，必须认真进行如下探索： 命题的意图是什么?考查哪些方面的概念、知识和 能力?验证解题结论是否正确合理，命题所提供的 条件的应用是否完备?求解论证过程是否判断有 即，会∞一。，套∞， 据，严密完善?本题有无其他解法即一题多解?众 图3 图4 多解法中哪一种最简捷?把本题的解法和结论进一 步推广，能否得到更有益的普遍性结论——举一反 解析：本题主要涉及等差数列的有关知识，考 三，多题一解?如此种种，就是“解题反思”． 查等差数列中项与项的关系和性质，以及等差数列 前门项和的求法． 例题将正ABC分割成咒2(咒≥2，咒∈N)个 全等的小正三角形(图1，图2分别给出了船一2，3 当”一3时，如图3所示，分别设各顶点的数用 的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位 小写字母表示．由条件知a+6+c一1， 于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数 r丁l+．T2一盘+b。 ， ， (当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列， J Fl F1 i21 2 C十日 若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所 12l十Z2 2(a+b+c)一2． 有顶点上的数之和为厂(胛)，则有厂(2)一2，厂(3)一 ，…，厂(耽)一 ． 例5 已知数列{a。}为等差数列，且a。一lr，a。 证明：设{b。)的公比为q，由b。一6，，q…得q— 一Y(m≠九，m，挖∈N+)．则血。+。一—re．r--—ny，现已知 f}L 7l ＼On／ ＼Y／ 数列{b。)(6。0，n∈N+)为等比数列，且b。一nb。 ，g而一f￡、而一翌 一y(m≠72，m，胛∈N+)．类比以上结论，可以得到什 ＼Y7 ＼Y”／ v志‘ 么结论?你能说出结论的正确性吗? 利用概念的相似，类比解题思路的相似，有助于 分析：等比数列与等差数列是两类特殊的数 活跃学生的思维，是培养学生创新