中山大学2012年上半年线性代数课程第二次作业.docVIP

2012年上半年线性代数课程第二次作业 证明方阵A与有相同的特征值。（5分） 证明: 因为 所以与A的特征多项式相同，从而与A的特征值相同。 2.设方程A有特征值2和-1， 和，分别是对应的特征向量。试将向量表示成与的线性组合，并求。 （5分） 3.设方阵A满足 证明A的特征值是0或1。（5分） 证明: 设λ是方阵A的任意一个特征值，X≠0是A的属于λ的特征向量，即 AX=λX .等式两边左乘A，利用A2=A，得到 AX=A2X=A(λX)=λAX=λ2X=λX, (λ2－λ)X=0. 由于X≠0 ，于是λ2－λ=0 , 即 λ=0或λ=1。 4.求下列方阵的特征值及对应的线性无关特征向量： （10分） （1） (2) 5.设 是方阵A的两个不同的特征值， 分别是对应于 的特征向量。证明： 不是A的特征向量。（5分） 证明：反证法，假设是A的特征向量，则有 A()=(),即A+A=+ 得（-）+（-）=0 推得== 这与≠相矛盾， 所以不是A的特征向量 6.设可逆方阵A 与B相似，证明： 。（5分） 证明:因为A，B均为可逆矩阵，且A～B ，则存在可逆矩阵C， 使得C－1AC=B，于是 B－1=(C－1AC)－1=C－1A－1(C－1)－1= C－1A－1C 即A－1～B－1。 7.第4题中哪些矩阵可对角化？哪些矩阵不能对角化？并对可对角化的矩阵A,求一个可逆矩阵P,使 成为对角矩阵。 （5分） 8.设方阵A满足 其中 求A及 . （5分） 解：由题意可知，矩阵A的特征值为1，0，-1，对应的特征向量为 ，根据特征向量的性质知（）可逆，得A()= 可得A=（） = 得A= = 9.设A为3阶方阵，已知方阵E-A , E+A,3E-A都不可逆。问A是否相似于对角矩阵？为什么？ （10分） 10.已知 求内积 （5分） 解：因为即=1，=1， 所以 =·=2+-2×3-3 =2×2+1-6×3-3×(-1)=-10 11.求一个与 都正交的单位向量。 （5分） 12.设A为正交矩阵，证明：A的伴随矩阵 也是正交矩阵。（5分） 证明 由( 得A*(|A|A(1( 所以当A可逆时( 有 |A*|(|A|n|A(1|(|A|n(1(0( 从而A*也可逆( 因为A*(|A|A(1( 所以 (A*)(1(|A|(1A( 又( 所以 (A*)(1(|A|(1A(|A|(1|A|(A(1)*((A(1)*( 13.设方阵 ,其中E为n阶单位矩阵， 为n维单位向量。 证明：A为对称的正交矩阵。 （10分） 14.求正交矩阵P,使 成为对角矩阵，其中A为： 。（10分） 15. 求二次型的标准形，并写出所作的非退化线性代换. （10分） 解:对二次型f进行配方得