图形图像学基础12：bezier曲线.pptVIP

上节回顾 曲线的参数表示： 曲线上一点坐标的参数表示： 曲线上一点的导矢量： 上节回顾 曲线上某一点处的切矢量方向与一阶导矢量方向一致 参数为弧长c时， 一般参数t时， , 曲线上某一点处的曲率k等于二阶导矢量的模 曲线上某一点处的主法矢量方向与二阶导矢量方向一致 上节回顾 一条三次代数曲线的代数形式 矢量表示 已知P(0),P(1),P’(0),P’(1) 上节回顾 四点式曲线 Bezier曲线 给定空间中n+1个点的位置矢量（控制点），构造一条n次曲线 （曲线次数与控制点个数有关） n+1个控制点构成由n条边组成的折线集，称为控制多边形 控制多边形起点、终点和曲线起点、终点重合。 控制多边形第一条边和最后一条边表示曲线起点、终点处切向量方向。 曲线形状趋向于控制多边形形状。 Bezier曲线插值公式 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，…，n），则n次Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是： 其中，Pi为第i个控制点，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数： 参数曲线的矩阵表示： 　　 　　  Bernstein基函数的性质(I) 正性 ： 端点性质： 权性： Bernstein基函数的性质(II) 对称性： 递推性： 导函数： Bezier曲线的性质(I) 端点性质：C(0)=P0; C(1)=Pn 切矢量： Bezier曲线的性质(II) 对称性：控制点位置不变次序颠倒构造出的新Bezier 曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。 凸包性：当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是Bi,n(t)。 Bezier曲线的性质(II) 几何不变性：这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择 变差缩减性：若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。 Bezier曲线的矩阵表示(I) 一次Bezier曲线 两个控制点：P0, P1 n=1, 矩阵表示： 一次Bezier曲线是连接起点和终点的直线段 Bezier曲线的矩阵表示(II) 二次Bezier曲线 三个控制点：P0, P1，P2 n=2, 矩阵表示： 起点、终点分别为P0和P2的抛物线 C(0)=P0, C(1)=P2, C’(0)=2(P1-P0), C’(1)=2(P2-P1) Bezier曲线的矩阵表示(III) 三次Bezier曲线 四个控制点P0, P1, P2,P3 n=3, 矩阵表示 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(I) 右图为二次Bezier曲线（抛物线），根据抛物线三切线原理 有： 引入参数t，令上述比值为t:1-t, 有： Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(II) (1)和(2)带入(3)得： 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。 由于 。这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(III) 二次Bezier曲线可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。 依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合。 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合： Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(IV) Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(V) 由此得到Bezier曲线的递推计算公式： Pi0是第i个控制点Pi P0n是n次Bezier曲线上的点 用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点C(t)非常有效。 例子：n=3时，用de Casteljeu算法求3次Bezier曲