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18空间向量在立体几何中应用 18空间向量在立体几何中的应用.txt如果有来生，要做一棵树，站成永恒，没有悲伤的姿势。一半在土里安详，一半在风里飞扬，一半洒落阴凉，一半沐浴阳光，非常沉默非常骄傲，从不依靠从不寻找。第三节 空间向量在立体几何中的应用 一、 填空题 1.若等边的边长为，平面内一点满足，则_________ 2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A和到B的距离相等，则M的坐标是________。 【解析】设由可得故 【答案】(0,-1，0) 二、解答题 3.（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF和DE所成的角的大小； (II) 证明平面AMD平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系， 点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线和所成的角的大小为. （II）证明： ， （III） 又由题设，平面的一个法向量为 4．（本题满分15分）如图，平面平面， 　　是以为斜边的等腰直角三角形，分别为， 　　，的中点，，． （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离． 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 6.（本小题满分12分） 如图，已知两个正方行ABCD 与DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 （I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN和平面DCEF所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线ME 和 BN 是两条异面直线。 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 　则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 　又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量， 　可得cos(,)=· 　所以MN和平面DCEF所成角的正弦值为 　cos· ......6分 　　　　(Ⅱ)假设直线ME和BN共面， ......8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN和平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。 又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN和平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF， 所以EN//EF，这和EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。 所以ME和BN不共面，它们是异面直线. ......12分 7.（13分） 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，， ，且MD=NB=1，E为BC的中点 （1） 求异面直线NE和AM所成角的余弦值 （2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标 依题意，得。 ， 所以异面直线和所成角的余弦值为.A （2）假设在线段上存在点，使得平面. , 可设 又. 由平面，得即 故，此时. 经检验，当时，平面. 故线段上存在点，使得平面，此时. 8.（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 （I）证明： （II）设二面角为60°，求和平面所成的角的大小。 分析一：求和平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。 　　19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 　　如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求： 　　（Ⅰ）点到平面的距离； 　　（Ⅱ）二面角的大小． （Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS