概率论1.5(全概率公式和贝叶斯公式).pptVIP

1.5 全概率公式和贝叶斯公式 　1.5.1 全概率公式 定理1.2 设试验E的样本空间为? ,A1,A2,…,An为E的一组事件，且满足： (1) A1,A2,…,An两两互不相容， i = 1,2,…,n； (2) 则对任一事件B，有 (1.7) (1.7)称为全概率公式． 称满足(1)和(2)的A1，A2，…，An为完备事件组或样本空间的一个划分． 全概率公式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果， 【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求: (1)先取出的零件是一等品的概率； (2)两次取出的零件均为一等品的概率． 解: 设Ai =“任取的一箱为第i箱零件”，i = 1,2,3， Bj =“第j次取到的是一等品”，j = 1，2． 　由题意知 A1、A2和A3构成完备事件组， 　且 (1) 　　　　　　　　　　　　　　　　 由全概率公式得 (2) 因为　　　　　　　　　　　　　　　 由全概率公式得 定理1.2 设试验E的样本空间为? ,A1,A2,…,An为E的一组事件，且满足： (1) A1,A2,…,An两两互不相容， i = 1,2,…,n； (2) 则对任一事件B，有 (1.7) (1.7)称为全概率公式． 称满足(1)和(2)的A1，A2，…，An为完备事件组或样本空间的一个划分． 1.5.2 贝叶斯公式 定理1.3 设试验E的样本空间为? ，B为E的事件，A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) 0， P(Ai) 0，i = 1，2，…，n，则 (1.8) (1.8)式称为贝叶斯公式． 贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用． 特别有：　 　设事件A、B为试验E的两事件，由于A和　　 是一个完备事件组，若P(A) 0，　　　， P(B) 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为 【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) 顾客买下该箱的概率?； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率?． 解：设B =“顾客买下该箱玻璃杯”， 　　Ai =“抽到的一箱中有i件残次品”，i = 0,1,2． (1) 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。 显然A0，A1，A2是完备事件组． 由题意知 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式 【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95．对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎．现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？ 解: 设A =“某人确有肝炎”， B =“某人做此试验结果为阳性”； 由已知条件有 　　　　　　　　　　　　　　　　 从而 由贝叶斯公式，有 伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，发现狼没有来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他了。 在此基础上，我们再用一次贝叶斯公式计算 亦即这个小孩第二次说谎后，村民对他的可信程度改变为： 这表明村民们经过两次上当，对这个小孩的可信程度已经从0.8下降到0.138，如此低的可信程度，村民听到第三次呼叫怎么再会上山打狼呢？ 例 解 (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 * 引例： 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红