概率论与随机过程第1章4-5节.pptVIP

§4 条件概率 (一) 在有些问题研究中，有时还需要知道在 “事件A发生的条件下，事件B发生的概率。” 其称为“事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率”,记为P(B|A)。 一般P(B|A) ≠ P(B). 例如:某产品一盒共10只，已知其中有3只次品，从中取2次，每次任取一只，作不放回抽取，试求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。 从样本空间分析： 第一次抽取时的样本空间 当A发生后，S缩减为 由此可知：P(B/A)是在缩减样本空间 上计算的。 问题: 应该如何来定义和计算条件概率呢? 可想的方法: 由于事件的频率与概率有一定关系，所以是否 可从此着手研究该问题? 条件概率定义: 设A，B为随机试验E的二个事件，且P(A)0，则称 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、 可列可加性三条件? P(B|A)计算的两种方法: 1) 在样本空间S的缩减样本空间SA中直接计算B发生 的概率P(B/A)； 2) 在样本空间S中,分别计算P(AB)和P(A),再计算 例1: 设在一只盒子中混有新旧2种乒乓球，在新乒乓球中有白色40只，红色30只；在旧乒乓球中有白色20只，红色10只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的概率是多少? 解: 按题意,即求P(W/N)=? 1) 在缩减样本空间N中考虑计算:P(W/N)=40/70=4/7。 2) 用公式求解:P(W/N)= P(WN)/ P(N)= 有关条件概率的三定理 1. 概率的乘法定理: 设A、B∈S，P（A）0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A)。 可推广到三个事件的情形： A、B、C∈S，P（AB）0，则有 P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：P(A1…An－1) 0 ，则有 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)。 2. 全概率公式 样本空间的划分定义: 设S为随机试验E的样本空间， B1，B2，…，Bn 为E的一组事件，若 全概率公式: 设试验E的样本空间为S，B1，B2， …, Bn是S的一个划分，且P(Bi)0， (i＝1，…，n)，则对任何事件A?S有 。 证： 且 由概率和与乘法定理可得： 。 3. 贝叶斯公式 定理：设试验E的样本空间为S，B1, B2 , … , Bn是S的一个划分， 且P(Bi) 0, i＝1, 2, …, n。对于任何事件A?S，P(A)0，则有 贝叶斯公式： 证：由条件概率可得： 由全概率公式可得： 故有贝叶斯公式： 例6: 设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有a1个白球b1个黑球；乙箱内有a2个白球b2个黑球；箱内有a3个白球b3个黑球。现任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。试在事件A″此球为白球″的条件下，求H1″此球属于甲箱″的条件概率P(H1/A)。 解: 设H1，H2，H3分别表示“此球属于甲乙丙箱”。 ，且 ， 由全概率公式可得： 由贝叶斯公式可得： 例9: 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接