殊途同归，巧求面积最值.docVIP

殊途同归，巧求面积最值 　　分析各地中考试卷，可以发现不少以二次函数知识为背景的压轴题.二次函数在初中数学学习中占有重要地位，因其可以涵盖初中数学的所有知识点，具有较强的综合性，所以广受各地中考命题人员的青睐. 　　二次函数压轴题能考查综合运用知识的能力，具有知识点多、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点，因此是中考数学的难点.不过，如果我们能在做习题的基础上多总结一些方法，发现一些规律，有些难点就能较快突破.下面我们就一类二次函数与三角形面积的最值问题，来探求其中方法与规律. 　　一、规律发现 　　引例 已知二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标. 　　【解析】本题为求三角形面积最值问题，可以采用平行线法或构造二次函数模型求最值等两种思路来解决问题. 　　解法1：如图1，易求直线BC的解析式为：y=-x+3，所以可设直线l为y=-x+b.过点P作直线l∥BC，则多数情况下，直线l与抛物线有两个交点，此时S△PBC显然不是最大；当直线l与抛物线有唯一交点（即方程[y=-x+b，y=-x2+2x+3]有唯一解）时，点P到BC的距离最大，因此S△PBC最大.①代入②化为一元二次方程可得x2-3x+b-3=0，当Δ=0时，方程有两个相等实数根，即b=[214].将b的值代回原方程组，可得此时点P的坐标为[32，154]，再由P、B、C点坐标可求得△PBC的面积最大值为：[278]. 　　解法2：如图2，同样求得直线BC的解析式为：y=-x+3.过点P作直线垂直于x轴，交直线BC于点D. 　　因为点P在抛物线上，所以可设点P坐标为（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），点D在BC上，因此坐标为（n，-n+3）；以PD为底边，设△PDC的高为h1，设△PDB的高为h2，则h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n. 　　S△PBC=S△PDC+S△PDB=[12]PD?h1+[12]PD?h2 　　=[12]PD?（h1+h2）=[12]PD×3=[32]PD 　　=[32]（-n2+3n）=-[32]n2+[92]n. 　　这样，S△PBC就是关于n的二次函数，根据二次函数性质易得当n=[32]时，S△PBC的最大值为[278]，此时点P坐标为[32，154]. 　　【发现1】在解法1中，当三角形面积取得最大值时，只存在一个△PBC，但当面积缩小时，可能同时存在两个不同的△PBC； 　　【发现2】在解法2中，将△PBC进行纵向切割，将其分割为两个底边都为PD的三角形，它们的高的和就是BC两点的横坐标的差； 　　【发现3】注意观察两种解法中，当三角形面积取得最大值时，点P的横坐标是[32]，而点C的横坐标为0，点B的横坐标为3，可以理解为点P的横坐标恰好是线段BC中点的横坐标.其实这种情况并不是巧合，是一种规律，是可以用数学方法证明的.（有兴趣的同学可以抛物线y=ax2+bx+c和直线y=mx+n（am≠0）的交点是（x1，y1），（x2，y2）为一般情况进行证明，这里就不赘述.） 　　二、试刀中考 　　例1 （2016?江苏苏州）如图3，直线l∶y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a0）经过点B. 　　（1）求该抛物线的函数表达式； 　　（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； 　　（3）略. 　　【解析】（1）方法略，函数解析式为：y=-x2+2x+3； 　　（2）本题初看与上面的引例不同，但其抛物线上的动点，及计算三角形面积的最值都与引例类似，可用解法2的方法求解问题，不过考虑到纵向作垂线分割三角形计算有一定的困难，可以采用横向作垂线分割三角形，纵向距离为高. 　　如图4，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，可设点M坐标为（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐标为： 　　[m2-2m3，-m2+2m+3]， DM=[-m2+5m3]， 　　S=[12]DM（BE+OE）=[12]DM?OB 　　=[12]×3×[-m2+5m3]=-[12]m2+[52]m. 　　然后可由二次函数性质求出最大值为[258]. 　　【评析】在平面直角坐标系中研究一些图形的面积时，可采用割补法将复杂、不规则的图形分割成若干个三角形计算.分割时要注意以下几点：①分割后的三角形面积应该容易计算；②一般的分割方法为横向或纵向；③如有必要，也可斜向分割. 　　如本题中也可连接OM