高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题与详解.docVIP

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解 一、选择题 1．(2010·广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)km.(　　) A．a　　　　 B.eq \r(2)a　　　 C．2a　　　 D.eq \r(3)a [答案]　D [解析]　依题意得∠ACB＝120°. 由余弦定理 cos120°＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC) ∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120° ＝a2＋a2－2a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2 ∴AB＝eq \r(3)a.故选D. 2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中，“sinAeq \f(\r(3),2)”是“∠Aeq \f(π,3)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A [解析]　在△ABC中，若sinAeq \f(\r(3),2)，则∠Aeq \f(π,3)，反之∠Aeq \f(π,3)时，不一定有sinAeq \f(\r(3),2)，如A＝eq \f(5π,6)时，sinA＝sineq \f(5π,6)＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2). (理)在△ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A [解析]　当a＝b时，A＝B， ∴acosA＝bcosB； 当acosA＝bcosB时， 由正弦定理得 sinA·cosA＝sinB·cosB， ∴sin2A＝sin2B， ∴2A＝2B或2A＝π－2B ∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). 则a＝b或a2＋b2＝c2. 所以“a＝b”?“acosA＝bcosB”， “acosA＝bcosB”?/ “a＝b”，故选A. 3．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则AC两地的距离为(　　) A．10km B.eq \r(3)km C．10eq \r(5)km D．10eq \r(7)km [答案]　D [解析]　如图，△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠B＝120°，由余弦定理得， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120° ＝102＋202－2×10×20×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700， ∴AC＝10eq \r(7)km. 4．(文)在△ABC中，sin2eq \f(A,2)＝eq \f(c－b,2c)(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 [答案]　B [解析]　sin2eq \f(A,2)＝eq \f(1－cosA,2)＝eq \f(c－b,2c)，∴cosA＝eq \f(b,c)， ∴eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b,c)，∴a2＋b2＝c2，故选B. (理)(2010·河北邯郸)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　) A.eq \f(5,4) B.eq \r(2) C．1 D.eq \f(3,2) [答案]　D [解析]　∵sin2A＋cos2B＝1，∴sin2A＝sin2B ∵0A，Bπ，∴sinA＝sinB，∴A＝B. 故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A ＝－2cos2A＋2cosA＋1＝－2(cosA－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,2)， ∵0Aeq \f(π,2)，∴0cosA1，∴cosA＝eq \f(1,2)时，取得最大值eq \f(3,2). 5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2A－sin2C)＝(eq \r(2)a－b)sinB，那么角C的大小为(　　) A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(π,4) D.eq \f(2π,3) [答案]　C [解析]　由正弦定理得，a2－c2＝eq \r(2)ab－b2， ∴cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2),2)， ∵0Cπ，∴C＝eq \f