椭圆长轴与焦点弦端点连线性质证明.docVIP

已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则. 证法一:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则线段AB的垂直平分线方程为 y－=－(x－). 令y=0,得x=x0=+=.????????????????????????????????????? (*) 又=1,??????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????? ① =1,???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ② ②－①得=－,代入(*)得 x0=·. 由－a≤x1≤a,－a≤x2≤a,x1≠x2, 知－a＜＜a.又＞0, ∴－＜·＜, 即－＜x0＜. 证法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0), 故|PA|=|PB|,即(x1－x0)2+y12=(x2－x0)2+y22.??????????????????????????????????????????????????????????????? ① ∵A、B在椭圆上, ∴=1, ?=1,代入①得 2(x2－x1)x0=(x22－x12)·, 即x0=· (下同证法一). 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 证明一：依题设，得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F(1，0)，右准线方程为x=2，点E的坐标为(2,0)，EF的中点为N(，0). 　若AB垂直于x轴，则A(1，y1)，B(1，－y1)，C(2，－y1)， 　所以AC中点为N(，0)，即AC过EF中点N. 若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为 y=k(x－1)，k≠0.记A(x1，y1)和B(x2，y2)，则C(2，y2)且x1，x2满足二次方程＋k2(x－1)2=1, 　即??????????????? 　(1+2k2)x2－4k2x+2(k2－1)=0, 　 所以????????????? x1+ x2=, x1x2=. 　 又x12=2－2y122，得x1－≠0，故直线AN，CN的斜率分别为 k1==, k2==2k(x2－1). 　所以　k1－k2＝2k· 　因为　(x1－1)－(x2－1)(2x1－3) ????????????? ＝3(x1+x2)－2x1x2－4 ????????????? ＝［12k2－4(k2－1)－4(1＋2k2)］ ????????????? ＝0， 　所以k1－k2=0，即k1＝k2，故A、C、N三点共线. 　所以，直线AC经过线段EF的中点N. 　 证明二：如图，记直线AC与x轴的交点为N，过A作AD⊥l，D是垂足.因为F是椭圆的右焦点，l是右准线， BC∥x轴，即BC⊥l，根据椭圆几何性质，得：＝＝e　(e是椭圆的离心率)， 　因为AD∥FE∥BC， 　所以＝＝，＝， 　即得|EN|== e·==|FN|， 　所以N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N.