平面向量内积坐标运算与距离公式.docVIP

平面向量内积的坐标运算与距离公式 德清乾元职高 朱见锋 【教材分析】：本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的，主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式，是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据，是进一步学习相关数学知识的重要基础。 【教学目标】 1. 掌握平面向量内积的坐标表示，会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题． 2. 能够根据平面向量的坐标，判断两向量是否垂直，求两向量的夹角等。 3. 通过学习平面向量的坐标表示，使学生进一步了解数学知识的相同性，培养学生辩证思维能力．提高学生数学知识的应用能力。 【教学重点】：平面向量内积的坐标公式式，平面向量垂直的充要条件，平面内两点间距离公式的应用． 【教学难点】：平面向量内积的坐标公式的推导和应用。 【教学方法】 本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复 习 导 入 前面我们学习了平面向量的平面直角坐标及其运算下面一起来回忆下这些知识：1.在平面直角坐标系中，是基向量，他们的坐标如何表示？任意向量的坐标如何表示？的坐标如何表示？ 2.上节课我们学习了向量的内积，是怎么定义的呢？ · = = 3． 有哪些重要性质？ ·= = ? 　　　　　　； | |= ∣·∣≤ 4.满足哪些运算律 (1)交换律：· =· (2)结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)； (3)分配律：(＋)·＝·＋· 5.那么如何用坐标来表示·呢？ 教师提出问题． 学生回忆解答．师生共同回忆旧知识． 师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．引出探究问题． 为知识迁移做准备． 新 课 知 识 讲 解 例 题 讲 解 练 习 巩 固 例 题 讲 解 练 习 巩 固 新 课 已知， 是直角坐标平面上的基向量，如果＝(a1，a2)， ＝(b1，b2)，你能推导出· 的坐标公式吗？ 探究过程 ·＝(a1＋a2)·(b1＋b2) ＝a1b1·＋a1b2·＋a2b1·＋a2b2·， 又因为 ·＝1，·＝1，·＝0， 所以 ·＝a1b1＋a2b2． 定理 在直角坐标平面xoy中，如果＝(a1，a2)，＝(b1，b2)则 ·＝a1b1＋a2b2． 即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和． 因此可以推出两向量垂直的充要条件为 ⊥? a1 b1＋a2 b2＝0； 问题：(1)若已知=(a1，a2) ，你能用上面的定理求出| | 吗？ 解 因为 | |2=·=(a1，a2)·(a1，a2) ＝a12＋a22， 所以| |= eq \r(a12＋a22)． 这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式． 因此可推出两非零向量夹角余弦值公式为 cos?，?＝ eq \f(a1b1＋a2b2, eq \r(a12＋a22) eq \r(b12＋b22))． 例1 设＝(3，－1)，＝(1，－2)，求： (1) ·； (2) | |； (3) | |； (4)? ，?． 解 (1) ·＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5； (2) | |＝ eq \r(32＋(－1)2)＝ eq \r(10)； (3) ||＝ eq \r(12＋(—2)2)＝ eq \r(5)； (4) 因为 cos?，?＝＝ eq \f(5, eq \r(10)× eq \r(5))＝ eq \f( eq \r(2),2)， 因为0≤?，?≤所以?，?＝ eq \f(π,4)． 配套学生练习： 已知＝(0，2)，＝(-2，2)，求： (1) ·； (2) | |； (3) | |； (4)? ，?． 问题 (2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求| eq \o(→,AB)| ？ 解 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 eq \o(→,AB)＝(x2－x1，y2－y1)． 所以| eq \o(→,AB)|＝ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1))2， 这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式． 例2 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求| eq \o(→,AB)|． 解 因为A(2，－4)，B(－2，3)，所以 eq \o(→,AB)＝(－2，3) －(2，－4) ＝(－4，7)， 所以| eq \o(→, AB)|＝ eq \r(72＋(－4)2)＝ eq \r(65)． 学生练习： 已知A(2，1)，B(6，3)，C(5，0)，