例析函数极限求解误区.docVIP

例析求当时函数的极限的误区 广东省江门新会第二中学 张玉林 2004年6月 高中新教材《数学第三册》（选修 = 2 \* ROMAN II）增加了求函数的极限的内容，这为以后学习微积分知识打下基础，但不少同学在求当时函数极限时，往往因为对定义理解不透，或把它和数列的极限求法混为一谈，因而出现各种各样的错误解法，下面略举几个例题来谈谈学生在求时函数的极限过程中出现的误区。 例1，求的值 错解： 误区一：不能区分和函数的极限；事实上由指数函数的图象可知，若，当时，，；若，当时，。 正确解法： 例2，求 的值 错解：当时，原式= 当时，原式= 当时，原式= 所以 = 误区二：对时函数的极限的定义理解不透，把时函数的极限与时数列{}的极限混为一谈；事实上，由函数极限定义可知时函数的极限存在的充要条件是，而当时，不存在，；当时，不存在，。 正确解法： 当时，=，=， 所以，因此时，不存在； 当时，=，= 所以，因此时，不存在； 由上可得 = 例3：讨论当时函数的极限 错解： 误区三：对的意义理解不透，事实上包含了两层意思；上述变形过程中误用了式子，因为当时，，，因此当时分子分母同时除以，则可避免这一错误。 正确解法： 因而，所以当时，函数的极限不存在。 由述三道例题可看出，在求当函数的极限时，必需把它和求数列的极限区分开来：在数列的极限中，实际上是取正整数且趋向于的，而对于时函数的极限来说，只有时函数的极限与时函数的极限相等时，才能称时函数的极限存在。所以为了避免在求解中出现错误，解题时应先分别讨论时函数的极限与时函数的极限，然后再下结论。