不等式证明之柯西不等式.docVIP

不等式的证明之柯西不等式 一.知识要点: 1.柯西不等式:(a12+a22+…+an2)( b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 2.含参的柯西不等式: (λ12a12+λ22a22+…+λn2an2)( eq \f(b12,λ12)+ eq \f(b22,λ22)+…+ eq \f(bn2,λn2))≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 利用柯西不等式可以证明数学竞赛中难度较大的分式不等式,只要恰当的选取参数λi,问题即可获证. 二.例题: 1.设ai,bi∈R+,(i=1,2,3,…,n),且满足a1+a2+…+an= b1+b2+…+bn. 求证: eq \f(a12,a1+b1)+ eq \f(a22,a2+b2)+…+ eq \f(an2,an+bn)≥ eq \f(1,2)(a1+a2+…+an) （a1 （a1+a2+…+an)2=( eq \r(a1+b1)· eq \f(a1,\r(a1+b1))+ eq \r(a2+b2)· eq \f(a2,\r(a2+b2))+…+ eq \r(an+bn)· eq \f(an,\r(an+bn)))2≤[( eq \r(a1+b1))2+( eq \r(a2+b2))2+…+( eq \r(an+bn))2]·[( eq \f(a1,\r(a1+b1)))2+( eq \f(a2,\r(a2+b2)))2+…+( eq \f(an,\r(an+bn)))2]≤(a1+b1+a2+b2+…+an+bn)·( eq \f(a12,a1+b1)+ eq \f(a22,a2+b2)+…+ eq \f(an2,an+bn))=2(a1+a2+…+an)·() eq \f(a12,a1+b1)+ eq \f(a22,a2+b2)+…+ eq \f(an2,an+bn) ∴ eq \f(a12,a1+b1)+ eq \f(a22,a2+b2)+…+ eq \f(an2,an+bn)≥ eq \f(1,2)(a1+a2+…+an) 例2.设a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=1. 求证: eq \f(a1,2-a1)+ eq \f(a2,2-a2)+…+ eq \f(an,2-an)≥ eq \f(n,2n-1) eq \f(a eq \f(a1,2-a1)+ eq \f(a2,2-a2)+…+ eq \f(an,2-an)≥ eq \f(n,2n-1)等价于： eq \f(2-（2-a1）,2-a1)+ eq \f(2-（2-a2）,2-a2)+…+ eq \f(2-（2-an）,2-an)≥ eq \f(n,2n-1) 即： eq \f(2,2-a1)-1+ eq \f(2,2-a2)-1+…+ eq \f(2,2-an)-1≥ eq \f(n,2n-1) eq \f(2,2-a1)+ eq \f(2,2-a2)+…+ eq \f(2,2-an)-n≥ eq \f(n,2n-1) eq \f(2,2-a1)+ eq \f(2,2-a2)+…+ eq \f(2,2-an)≥ eq \f(n,2n-1)+n= eq \f(2n2,2n-1) (2n-1)·( eq \f(2,2-a1)+ eq \f(2,2-a2)+…+ eq \f(2,2-an))=[(2-a1)+ (2-a2)+…+(2-an)]·( eq \f(2,2-a1)+ eq \f(2,2-a2)+…+ eq \f(2,2-an))=[( eq \r(2-a1) )2+ ( eq \r(2-a2))2…+( eq \r(2-an) )2]·[( eq \f(\r(2),\r(2-a1)))2+ ( eq \f(\r(2),\r(2-a2)))2+…+( eq \f(\r(2),\r(2-an)))2]≥( eq \r(2-a2)· eq \f(\r(2),\r(2-a1))+ eq \r(2-a2)· eq \f(\r(2),\r(2-a2))+…+ eq \r(2-an) · eq \f(\r(2),\r(2-an)))2=2n2 ∴(2n-1)·( eq \f(2,2-a1)+ eq \f(2,2-a2)+…+ eq \f(2,2-an))≥2n2 ∴ eq \f(2,2-a1)+ eq \f(2,2-a2)+…+ eq \f(2,2-an)≥ eq \f(n,2n-1)+n= eq \f(2n2,2n-1) 例3.已知a1,a2,…,ak,…为互不相同的正整数, （1+ eq \f(1,2)+ eq \f(1,3)+…+ eq \f(1,n)）·( eq \f(a1,12)+ eq \f(a2,22)+…+