Poisson过程中到达时刻分布.docVIP

1引言与准备 齐次Poisson过程是一类重要的随机过程，也是深入研究随机过程的必然环节.其中的事件来到时间间隔序列和事件的到达时刻序列的诸多分布规律构成Poisson过程理论的重要组成部分.在本文里，我们运用二项分布和多项分布公式等基本工具推导出一系列等待时间的分布.为方便起见，先给出必备的定义和引理. 定义1.1若计数过程满足（1）；（2）过程具有独立增量性； （3），则称为强度为的齐次Poisson过程. 定义1.2在强度为的齐次Poisson过程中，记第个与第个事件之间的时间为，称为来到时间间隔；记第个事件的等待时间为.显然有= 定义1.3 随机向量的密度函数可由以下公式得到 = 其中=，= =，为元分布函数的阶差分. 定义1.4设为一组随机变量， 以记中第个最小者， ，则称（）为的顺序统计量. 定义1.5 次重复独立的试验中，每次试验可能有若干个结果,把每次试验的可能结果记为,而,且.称此试验为推广的重贝努利试验. 引理1 在强度为的齐次Poisson过程中，来到时间间隔序列独立且服从期望为/的指数分布. 引理2设随机变量，，，独立同上均匀分布，则其顺序统计量的联合密度函数为=， 引理3 =，， 此引理表明：条件随机变量.也就是说，在不考虑次序的情况下，已经到达的个事件中的任何一个，其等待时间都服从上的均匀分布，且与其他到达时刻独立. 引理4（多项分布公式）在推广的重贝努利试验中, 出现次，出现次，出现的概率为,,. 2对到达时刻的研究 定理1 ， 即与同分布. 证明 由引理3，4 =，所以 = 推论1 证明 在定理1中，令即可得结论. 推论2 其中，，， 推论3 不再服从，其密度函数由下面的定理2给出． 推论3的正确性是由于与同分布． 定理2 = 证明依据引理4 =，因此 ==，证完． 定理3 ，亦即密度 证明 考虑到，因此 = == 从而=，证完. 定理4 （） 证明 = 从而 =，证完． 定理5 ， 证明 考虑到，得 = =，所以 =，证完. 定理6 ， 证明 = = = 因此 = =，证完. 注： 由引理1及定理3，得 与同分布，则有 所以 运用相同的方法，可获得随机向量的联合概率密度： ， 其中，