不等式配凑技巧.docVIP

巧凑配，妙解题 2008年08月31日 星期日 21:34 运用平均值不等式的条件是：各因式或各项为正，它们的和或积为定值，各式或各项取相等的值。这三个条件缺一不可。在许多情况下并不能直接运用平均值不等式解题，而需要审视条件和待求（或待证）式的结构，作出合理的变形才能运用，其中巧配是重要技巧之一。 一、着眼于“和为定值”而巧配 例1在及约束条件下，求目标函数的最大值。2求函数的最大值。3若，且，求的最大值。4已知，且。求证： “和为定值”已在约束条件里，将目标函数按约束条件在相应处配上合适的常数，使得满足条件，即。 解： 。当且仅当及，即，，时取得等号。故。 点评： 例 ，而（正常数），故变形为，即可利用平均值不等式求解。 解： 。当且仅当即时取得等号。 点评： 二、施行平方后巧配 例 审视约束条件和待求式的结构特征，对待求式施行配方，然后依据约束条件进行变形。 解： ，当且仅当及，即，时取得等号。故所求的最大值为。 点评： 三、着意于等号成立进行巧配 例 。 审视条件式和待证式的结构特征，具有对称性，在不等式取得等号时的它们的地位是相同的，即在时待证不等式取得等号。而，所以左边的每个根式应乘上以便使用平均值不等式且等号都能够取得。 证明： ，当且仅当取等号，所以。 点评： 多次使用平均值不等式时，要注意各个不等式取等号时满足题给条件且具有一致性（不等式的方向一致，取等号的条件不产生矛盾而具有一致性）。由题意知，当且仅当即时取得等号；同理，，当且仅当时取得等号； 在所配的和式中，一定要出现和，而常数项则是容易调节的。因为，且，设，则 依据式子的结构特征，兼顾等号的取得来构造“和为定值”是解题的关键。因为，所以，所以 的项在约束条件中没有出现，而出现了，所以将拆为（两个以确保等号的取得）。因为，，所以