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一次函数的实际应用 河南省商丘市睢阳区毛固堆二中 李海涛 一次函数在实际问题中应用非常广泛，也是历年各地中考重点之一，本文以2007年中考题为例，给同学们介绍怎样利用一次函数的解析式、图像、性质解决实际问题。 一、解析式的应用 例1、（南京市）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元／计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按元／计费．设每户家庭用用水量为时，应交水费元． （1）分别求出和时与的函数表达式； （2）小明家第二季度交纳水费的情况如下： 月份 四月份 五月份 六月份 交费金额 30元 34元 42.6元 小明家这个季度共用水多少立方米？ 分析：（1）用水量不超过20m3时，水费应为20x元，用水量等于20m3时，水费应为20×2＝40元。用水量超过20 m3时超过部分的水费应为2.6（x－20）元。 （2）根据图表信息可将每月交费金额与40元相比较，代入不同的函数关系式进行计算。 解：（1）当时，y与x的函数表达式为y=20x① 当时，y与x的函数表达式为y=20×2+2.6(x-20)即y=2.6x-12② (2)因为当用水量等于20m3时，水费应为20×2＝40元。由图表可知四月份交费金额为30元＜40元，即得四月份用水量小于20m3,将30代入表达式①即可求出四月份的用水量，按照同样的方法求出五月份、六月份的用水量。所以， 把y=30代入y=2x得x=15(m3) 把y=34代入y=2x得x=17(m3) 把y=42.6代入y=2.6x-12得x=21(m3) ∴小明家第二季度共用水15＋17＋21＝53（m3） 点评：应用一次函数解析式解实际问题的关键是有两点：其一是准确把握x与y分别表示的实际问题是什么；其二是认真分清自变量x在不同范围内所确定的y与x的函数关系式。 二、图像的应用 例2、（吉林省）今年4月18日，我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位在：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题： (1)点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h，点B的纵坐标300的意义是_______________________； (2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s(单位：km)与时间t(单位：h)的函数图象； (3)若普通快车的速度为100km/h， ①求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围； ②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇； ③直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间． 分析：从图像中可获取下列信息：甲乙两城相距300km,第一列动车组从甲城出发经过2h到达乙城，从乙城开往甲城的普通快车晚出发0.5h，结合已知条件解决问题。 解：（1）晚0.5，甲、乙两城相距300km.。 （2）如图所示，MN就是第二列动车组列车离开甲城的路程S(km)与时间t（h）的函数图像。 （3）设直线BC的解析式为S=kt+b。由图像可知B、C两点的坐标分别是B(0.5，300),C(3.5，0)。 ∴ 300＝0.5k+b 解得 k=－100 0=3.5k+b b=350 ∴S=－100t+350(0.5≤t≤3.5) (2)设第二列动车组列车出发x小时后与普通快车相遇，由图像OA可得动车组的列车速度为300÷2＝150km／h，根据图中信息得150x+100(x+0.5)=300解得x=1. ∴第二动车组列车发车1小时后与普通快车相遇。 （3）0.6小时。 点评：利用图像解决实际问题应注意三个关键点：①弄清两数轴表示的实际意义。②看准图像上已知点所对应的横坐标和纵坐标。③把握使实际问题有意义的图像的范围。 三、性质的应用 例3、（武汉市）(本题10分)康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台。从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表： 甲地(元/台) 乙地(元/台) A地 600 500 B地 400 800 (1)如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y(元)与x(台)的函数关系式； (2)若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么 分析：（1）总运费包括从A、B两地分别运往甲、乙两地共四条路线运费之和。 （2）根据函数性质确定最佳调运方案。