曲面上半测地坐标网和其应用.docVIP

曲面上的半测地坐标网及其应用 摘要：本文给出了曲面上半测地坐网的定义，在此基础上论述了曲面上测地线的短程性.然后给出了曲面上半车比雪夫坐标网的定义，并讨论了半测地坐标网和半车比雪夫坐标网的关系，以及它们同极小曲面的联系等,得到若干结果.另外，本文给出了半测地坐标网的等价刻划等一些性质,其应用是简便易行的. 关键词：曲面上半测地坐网，短程性，半车比雪夫坐标网 1 曲面上的半测地坐网 定义1：曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网.极坐标网是它的特例. 定理1：给出曲面上的一条曲线，则总存在一个半测地坐标网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线. 证明：由定理，过曲面上给定的曲线上的每一点，沿着，在切平面上对应于垂直于的方向，存在唯一条测地线，然后再作这一族曲面的正交轨线，则这族测地线和它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网，并且的正交轨线族中包含了. 对于曲面上的半测地坐标网，有，我们现在证明这个结论. 首先，由于半测地坐标网是正交的，所以， 半测地坐标网中有一簇坐标曲线是测地线，不妨设为线,,即， 它满足测地线微分方程： 但 当坐标曲线正交时，即与无关，只与有关，可设在曲面上引进新参数从而第一基本形式变为： 2 曲面上测地线的短程性 定理2：若给出曲面上充分小的邻域内的两点则过这两点在小邻域内的测地线是连结这两点的曲面上的曲线中弧长最短的曲线. 证明：设是曲面上连结的一条测地线，在曲面上选取半测地坐标网，使曲面上包含在内的一测地线族为u-线，它的正交轨线为v-线，于是曲面的第一基本形式为： 不妨设曲线的方程为，和的坐标分别为,，于是沿测地线由到的弧长为又在这个小邻域内连结和的任意曲线的方程为，于是沿，从到的弧长为 只有当时，上式等号才成立，但此时为常数，即为u-线，而且是过的u-线，即，表示此时重合，所以是连结的最短线. 由这个定理，我们又称测地线为短程线. 注意：定理若不是限制在一个小邻域内则不一定成立. 如球面上的大园是测地线，所以球面上不是直径两端的两点，连结它们的大园弧有两段，显然长的不是连结它们两点的最短线，而短的是. 3半测地坐标网和半车比雪夫坐标网的几个性质 定义2：如果曲面上的曲线网所构成的四边形中，有一双对边相等，则称这种曲线网为半比雪夫坐标网. 命题：曲面上的坐标网为半车比雪夫坐标网的充要条件是， （或者，） 定理3：若曲面上的坐标网是半测地坐标网, 且（或）, 则它是半车比雪夫坐标网. 证明：因已知曲面的坐标网是半测地坐标网, 故（或交换：）.而（或）由命题便知：曲面上的坐标网必是半车比雪夫坐标网. 定理4：在高斯曲率的极小曲面上，若坐标网是半车比雪夫坐标网, 则由高斯映射所得到的球面像的坐标网, 也必是半车比雪夫坐标网. 证明曲面的三个基本形式为： 并且它们之间满足其中为曲面的高斯曲率，为曲面的平均曲率. 由以上各式易得： 当时，且曲面是极小曲面，平均曲率，故得,又因曲面上是半车比雪夫坐标网, 必有（或），于是, （或，故曲面的球面像的坐标网是半车比雪夫坐标网. 推论1：在高斯曲率的极小曲面上, 若坐标网是半测地网, 且（或），则由高斯映射所得到的球面像的坐标网是半车比雪夫坐标网. 证明由定理3和定理4可直接得出. 推论2：若曲面的坐标网是半测地网, 且，则曲面是可展曲面. 证明：因为所以 又由，故，即曲面是可展曲面. 定理5：如果曲面的坐标网是半测地网, 又是共轭网, 且（或）, 则曲面是极小曲面. 证明已知曲面的坐标网是半测地网和共轭网,则必有，此时的科达齐一一迈因纳尔迪公式为： 又因（或），由1或2可得,是极小曲面. 由上述定理5的证明不难知道： 推论3：若曲面的坐标网是正交网又是共轭网, 且（或），则曲面是极小曲面. 推论4：如果曲面的坐标网是曲率线网, 且（或），则曲面是极小曲面. 推论5：若曲面（, 非极小曲面）的坐标网是渐近线网又是曲率线网, 则必是车比雪夫坐标网. 证明：由曲面的坐标网是曲率线网可知，此时科达齐一一迈因纳 尔迪公式为： 又由坐标网是渐近网知， 而则由（3）和（4）得.由（2）知：坐标网是车比雪夫坐标网（也可能是车比雪夫网） 定理6：如果曲面的坐标网是半测地网, 且（或）则曲面是极小曲面. 证明：因半测地坐标网是正交网, 故，此时的科达齐一一迈因纳尔迪公式为： 由（或），以及，（或），则由(5)或(6)可得：，故曲面是极小曲面. 同理可得 推论6：如果曲面的坐标网是正交网，且（或），则曲面是极小曲面. 参考文献 [1]王国民.半测地坐标网