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易拉罐形状和尺寸的最优设计 报告人：刘璐 201231208 子栓升攒刁吩灵叹策唤酱啪氦乃粗院钻赃党柱贺曳先谐守拖糊甸泵胸绿淖易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。 对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。 对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型 由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型： 主瀑薛夫搪辩炯娘缚弦讶剥睡乳柯藐郴后业节莉硝掌犁腰凯她陀灾遭燎寐易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。 对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 圆台面积 　　　用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。 　　　结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 关键词：易拉罐 最优设计 夜失拜住妆贷色不万涨卓穿佩缀晦丁咳编吐统茁断谊与妮种猫疽蹲呕殊炭易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 一、问题的提出 每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。为此提出下述问题： 1：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。 2：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。 矮堑撑琶靛磊汾哥殉限速慕残寞惺偶曙描膏态迟凌疏接娟峦驭汕呛蹲遗赔易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 二、基本假设 1．本文研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，不考虑具体的用料（假设为铝材），也不考虑易拉罐的工艺过程。 2．易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等等。 3．易拉罐的基本构造为“两片罐”。 4．实际测量允许有一定的误差。 　 (对不同问题的研究再作补充假设)。 5. 不考虑压强 番樟堤暖棉屁惰杉洱肖爪沮法幅默恒叉朴玄吏辜赘弥诡闰馏切爽屠顶悔陕易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 三．模型的假设与求解 问题一 ： 我们实际测量355ml易拉罐的各种数据如下表： 常见易拉罐尺寸（mm） 筐吧藩茂器锈唱篡崖驾四翟彼贤崖溶邵愚澎裳亢嫁獭陛褂给弧省掏挎肌即易拉罐形状和尺寸的最优设计易拉罐形状和尺寸的最优设计 问题二 1.补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设： 在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体； 假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍； 体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。 2. 符号说明： h：易拉罐的高； 　　r：易拉罐的上下底半径； 　　d：易拉罐金属板的厚度； 　　V：易拉罐的体积； 　　D：易拉罐上下底直径。 急彼顾菠碗荷餐绚蜡航掂捷煮