数学思想和数学文化——第三讲 数学思想方法介绍(1,2).pptVIP

《数学思想与数学文化》之第三讲——;内 容;一. 前 言;◆数学方法具有三个基本特征： （1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。 ◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用： （1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。;数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法 ? 数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法;数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法;有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法 例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法等； 2. 逻辑性思想方法 例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法 例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。 事实上，数学思想方法是有层次的。 操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。;1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）;2.类比法（数学创造发现的方法）;3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数 ＋、－ 、× 带余除法 算术基本定理 多项式 ＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理;3. 归纳法（逻辑学中的方法） 与数学归纳法（数学中的一般方法）;☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立； （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。 数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。;数学归纳法用于证明。 例子：证明数列 单调增加有上界。;数学思想方法介绍(续);4．数学构造法（基本数学方法）;宋刻本《周髀算经》， （上海图书馆藏）;第24届“国际数学家大会”会标;;5. 化归法（基本数学方法） （ 1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法 ）;☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则： a)熟悉化原则 b)简单化原则 c)和谐化原则 ☆实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反演（RMI），分解与组合…;1）特殊化与一般化 ☆依据 （1）若命题P在一般条件下为真，则在特殊条件下P也为真； （2）若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。 ☆特殊化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究某些个体或子集的性质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜想给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确性； ☆一般化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究包含该集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质，再根据特殊化与一般化的依据（1）推出所要证明的命题。 ;2）关系映射反演（RMI）方法 基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演到R，求得问题甲的结果。;☆RMI 方法是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为简，化难为易，化生为熟，化未知为已知，因而是数学中应用非常广泛的一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。 ☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲学理论体系---解决客观世界的现实问题）。;例1. 证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0， 对任何实数m都有一个共同的实数解，并求此实数解。 例2.计算p=a1/3b1/7 数值。（对数） （原像关系---映像关系---求得映像的值---求得原像的值） 例3.用解析几何方法处理平面几何问题。 （几何关系问题---代数关系问题---求出某些代数关系---确定某种几何关系）;6. 数学模型方法（基本数学方法）;例1 哥尼斯堡七桥问题 （确定性模型）;你能找到穿经每个门各一次且笔不离纸的通道吗？试证明你的结论． （摘自《数学趣闻集锦》,T·帕帕斯）;现实原型 七桥问题;例2